Den Proportionalitätsfaktor berechnen
Was ist der Proportionalitätsfaktor?
| Gewicht in kg | 3 | 7 | 11 | 21 |
|---|---|---|---|---|
| Preis in € | 2,67 | 6,23 | 9,79 | 18,69 |
| Preis in € : Gewicht in kg | 2,67 : 3 =0,89 | 6,23 : 7 =0,89 | 9,79 : 11 =0,89 | 18,69 : 21 =0,89 |
In der dritten Zeile der Tabelle wird der Preis durch das Gewicht geteilt. Bei allen Wertepaaren dieser Zuordnung erhältst du das gleiche Ergebnis.
Dieses Ergebnis ist der Preis für 1 kg (Grundpreis).
Kurz: 0,89 €/kg Gesprochen: 0,89 Euro pro Kilogramm
Bei proportionalen Zuordnungen ergibt die Rechnung zugeordnete Größe : Ausgangsgröße immer den gleichen Wert. Er heißt Proportionalitätsfaktor.
Wozu brauchst du den Proportionalitätsfaktor?
Oder anders: Bei proportionalen Zuordnungen ergibt der QuotientZugeordnete Größe : Ausgangsgröße immer den gleichen Wert. Es liegt Quotientengleichheit vor.
1. Prüfen, ob eine Zuordnung proportional ist
In allen Spalten ist der Proportionalitätsfaktor gleich. Daran siehst du, dass eine proportionale Zuordnung vorliegt.
| $$x$$ | 128 | 32 | 57 | 76 |
|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | 2,56 | 0,64 | 1,14 | 1,52 |
| $$y:x$$ | 2,56 : 128 =0,02 | 0,64 : 32 =0,02 | 1,14 : 57 =0,02 | 1,52 : 76 =0,02 |
Ist der Proportionalitätsfaktor (Quotient) in allen Spalten gleich, liegt eine proportionale Zuordnung vor.
2. Prüfen, ob du richtig gerechnet hast
Weißt du bereits, dass die Zuordnung proportional ist, prüfe mit dem Quotienten.
| Zeit in h | 2 | 5 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Entfernung in km | 31 | 77,5 | 108,5 | 122 |
| Entfernung : Zeit | 31 : 2 =15,5 | 77,5 : 5 =15,5 | 108,5 : 7 =15,5 | 122 : 8 =15,25 |
Der Proportionalitätsfaktor ist 15,5 km/h,
umgangssprachlich: Stundenkilometer.
Für 8 Stunden wurde die Entfernung falsch berechnet.
Oder, für 122 km wurde die Zeit falsch berechnet.
Mit dem Proportionalitätsfaktor kannst du feststellen, ob die Zuordnungen richtig berechnet wurden.
Für die Einheit von Stunden schreibst du h. Das kannst du dir mit Englisch merken: h für hour.
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3. Proportionale Zuordnungen mit dem Proportionalitätsfaktor berechnen
| Zeit in h | 3 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|
| Entfernung in km | 36 | 60 | 96 |
| Entfernung : Zeit | 12 | 12 | 12 |
Beispiel 1: Wie weit fährt Anton in 10 Stunden?
Rechne: $$10*$$ $$12$$$$=120$$.
Antwort: In 10 Stunden fährt Anton 120 km.
Ausgangsgröße $$*$$ Proportionalitätsfaktor $$=$$ Zugeordnete Größe
Beispiel 2: Sarah ist 156 km gefahren. Wie lange hat sie für die Strecke gebraucht?
Rechne: $$156:$$ $$12$$$$=13$$.
Antwort: Sarah hat für die 156 km 13 Stunden benötigt.
Zugeordnete Größe $$:$$ Proportionalitätsfaktor $$=$$ Ausgangsgröße
3. Proportionale Zuordnungen mit dem Proportionalitätsfaktor berechnen
Beispiel 3: Simon hat dreimal seine Lieblingsäpfel gekauft. Für 12 Äpfel zahlte er 7,69 €, für 6 Äpfel zahlte er 3,84 € und für 9 Äpfel zahlte er 5,79 €. Sein Vater möchte wissen, ob die Äpfel teurer wurden.
Simon erstellt eine Tabelle:
| Äpfel | 12 | 6 | 9 |
|---|---|---|---|
| Preis in € | 7,69 | 3,84 | 5,97 |
| Preis : Äpfel | 0,64 | 0,64 | 0,66 |
Simon weiß: Sind die Äpfel im Preis gleich geblieben, müsste auch der Proportionalitätsfaktor gleich bleiben.
Anhand der Tabelle erkennt Simon:
- Es liegt keine proportionale Zuordnung vor.
- Für jeden Einkauf erhält er durch den Proportionalitätsfaktor den Preis für 1 Apfel.
- Durch Vergleichen sieht er, dass die Äpfel beim letzten Einkauf teurer waren.
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