Ausgangssituation: Handymodelle

Yannis wünscht sich zum Geburtstag ein Handy von einem
bestimmten Hersteller und einen festen Vertrag.

Seine Mutter ist ratlos: Im Shop werden 3 unterschiedliche Vertragsarten und 2 unterschiedliche Geräte dieses Herstellers in 4 unterschiedlichen Farben angeboten.

Yannis Mutter überlegt, wie viele unterschiedliche Kombinationsmöglichkeiten es gibt.

Dabei wendet sie das allgemeine Zählprinzip an.

Ausgangsfrage:

Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es bei 3 unterschiedlichen Vertragsarten und 2 unterschiedliche Geräten des gewünschten Herstellers in 4 unterschiedlichen Farben?

Bild: fotolia.com (Aaron Amat)

Allgemeines Zählprinzip

Du kannst dir die unterschiedlichen Kombinationsmöglichkeiten
in einem Baumdiagramm veranschaulichen.

In einem solchen Abzählbaum werden die Entscheidungsmöglichkeiten als Verzweigungen dargestellt.

Du beginnst mit 3 Ästen für die 3 unterschiedlichen Vertragsarten.

Von diesen Ästen gehen nun – auf der nächsten Stufe – jeweils 2 Äste ab, und zwar für die 2 unterschiedlichen Geräte.

Am Ende dieser Äste trägst du – auf der nächsten Stufe – noch einmal 4 Verzweigungen ein, und zwar für die 4 unterschiedlichen Farben.

Kombinationsmöglichkeiten: 3$$*$$2$$*$$4 Möglichkeiten

Damit hast du die Produktregel der Kombinatorik anschaulich in einem Baumdiagramm dargestellt:

Rechts am Ende des Baumes kannst du alle möglichen Kombinationen abzählen.
Die Verzweigungen im Baumdiagramm kannst du von links nach rechts einzeichnen. Genauso gut kannst du auch eine andere Aufteilung wählen, zum Beispiel von oben nach unten.

Anordnung der Verzweigungen

Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten ändert sich nicht,
auch wenn du die Verzweigungen anders anordnest.

Beispiel:

Du kannst auch mit 4 Ästen für die 4 unterschiedlichen Farben beginnen und erst dann jeweils 3 Äste für die 3 unterschiedlichen Vertragsarten anschließen, von denen noch einmal je 2 Äste für die unterschiedlichen Geräte abzweigen.

Das Abzählergebnis rechts am Ende des Baumes bleibt gleich.

Produktregel der Kombinatorik

Nacheinander soll eine bestimmte Anzahl von Entscheidungen getroffen werden. Bei jeder dieser Stufen steht eine bestimmte Anzahl von Möglichkeiten zur Auswahl.

Auf der $$1.$$ Stufe gibt es $$n_1$$ Möglichkeiten, auf der $$2.$$ Stufe $$n_2$$ Möglichkeiten, … (usw.) und auf der $$k.$$ Stufe $$n_k$$ Möglichkeiten.

Gesamtzahl der Möglichkeiten: $$n_1*n_2*…*n_k$$