SuS können die Bernoulli-Ketten und -Experimente erläutern

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SuS können die Bernoulli-Ketten und -Experimente erläutern

Bernoulli-Experiment

Zufallsexperimente gibt es viele, doch hier geht es um ein Besonderes: Hat ein Zufallsexperiment nur zwei Ergebnisse, so heißt dieses Experiment Bernoulli-Experiment.

Typische Beispiele sind:

Münzwurf mit den Ergebnissen „Zahl“ oder „Wappen“
Würfelwurf mit den Ergebnissen „sechs“ oder „keine sechs“
Fußball/Elfmeterschuss mit den Ergebnissen „Tor“ oder „kein Tor“
Auswahl einer Person mit den Ergebnissen „Fahrerlaubnis“ oder „keine Fahrerlaubnis“
Radioaktivität mit den Ergebnissen „Zerfall“ oder „kein Zerfall“.

Die Zufallsgröße bzw. Zufallsvariable erhält für das eine mögliche Ergebnis den Wert $1$ (oder die Bezeichnungen Erfolg oder Treffer), für das andere Ergebnis den Wert $0$ (oder die Bezeichnungen Misserfolg oder Niete). In diesem Zusammenhang nennen wir sie auch Bernoulli-Variable.

Legen wir für die Erfolgswahrscheinlichkeit den Wert $p$ fest, so erhalten wir für die Misserfolgswahrscheinlichkeit den Wert $q = 1 - p$ .

Bernoulli-Kette

Ein solches Zufallsexperiment kann natürlich auch mehrmals hintereinander durchgeführt werden. Man spricht dann von einer Bernoulli-Kette und kann verschiedene Aussagen über diese Ketten treffen. Zunächst betrachte aber das nachfolgende Urnen-Beispiel:

Eine Urne enthält 10 rote und 10 grüne Kugeln. Es werden 5mal hintereinander je eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Jeder Zug ist ein Bernoulli-Experiment mit der Ergebnismenge $[ 1 ; 0 ]$ , wenn $1$ als eine rote Kugel und $0$ eine grüne Kugel notiert sind.
Betrachten wir dieses Zufallsexperiment als ein einziges Experiment mit dem Ergebnis z.B. als Fünfertupel $[0;1;0;1;1]$ , so lässt sich dieses als ein
$n$ -stufiges Zufallsexperiment mit $n = 5$ voneinander unabhängen Durchführungen betrachten.

Ein Zufallexperiment, das aus n-maligen Wiederholungen ein und desselbigen Bernoulli-Experimentes besteht, wird Bernoulli-Kette der Länge n genannt.

Bernoulli-Experiment - ja oder nein?

Wie kannst Du erkennen, ob ein Experiment ein Bernoulli-Experiment ist? Und kannst Du es vielleicht sogar beeinflussen? Schaue dir dazu ein paar Beispiele an.

Eine Person blickt 10 Tage lang jeweils mittags aus dem Fenster und notiert die genaue Wetterlage.
Dies ist kein Bernoulli-Experiment, da es mehr als zwei Ergebnisse gibt, zum Beispiel: Sonne/Regen/Nebel/Schnee.
Eine Person wirft eine gezinkte Münze.
Es liegt ein Bernoulli-Experiment vor, da es nur zwei Ergebnisse gibt - Allerdings beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit nicht mehr $p = 0,5$ wie bei einem Münzwurf mit einer fairen Münze.
Aus einer Urne, die 10 schwarze und 20 weiße Kugeln enthält, wird 6 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen und die Farbe notiert.
Dieses Zufallsexperiment ist ein Bernoulli-Experiment. Zur Festlegung der Trefferwahrscheinlichkeit muss jedoch vorab festgelegt werden, welche Farbe als Treffer bzw. Niete erkannt wird, denn die Wahrscheinlichkeit beträgt hier nicht genau $0,5$ .

Bernoulli-Kette - ja oder nein?

Hier sind noch einige komplexere Beispiele:

Es werden 100 Personen gefragt, was ihre Lieblingsfarbe ist.
Dies ist keine Bernoulli-Kette, da es mehr als zwei Farben gibt.
Es werden 100 Personen gefragt, ob Ihre Blutgruppe B ist.
Dies ist eine Bernoulli-Kette, da hier nur die Frage „Blutgruppe B“ oder „keine Blutgruppe B“ gestellt wird.
Aus einer Urne, die 30 blaue und 60 grüne Kugeln enthält, werden ohne Zurücklegen nacheinander 7 Kugeln gezogen.
Es liegt keine Bernoulli-Kette vor, da sich die Trefferwahrscheinlichkeit mit jedem Zug ändert.
Eine unvorbereitete Person beantwortet einen Fachtest mit $10$ unabhängigen Fragen mit je $4$ Auswahlmöglichkeiten pro Frage. Es ist jeweils genau eine Antwort richtig.
Es liegt eine Bernoulli-Kette der Länge $10$ mit je $p = 0,25$ für eine richtige Lösung vor.