Blick zurück: Potenzieren und Wurzelziehen

Das Berechnen einer Potenz der Art `b^x` nennt man Potenzieren.

Beispiel: `2^4=2*2*2*2=16`

Was ist aber, wenn du die Basis suchst? Das Potenzieren kannst du umkehren.

Beispiel: `root 4 16 =2`, denn `2*2*2*2=16`

Was ist der Logarithmus?

Was ist, wenn du den Exponenten suchst?

Beispiel:

`2^x=16`

Womit musst du `2` potenzieren, um auf `16` zu kommen? Das Ergebnis weißt du schon: es ist `4`.

Genau das macht der Logarithmus.

Schreibe: `log_2 16=4`, denn `2^4=2*2*2*2=16`.

Lies: Der Logarithmus von `16` zur Basis `2` ist gleich `4`.

Mit dem Logarithmus bestimmst du den Exponenten.

Definition von Logarithmen

Es seien `y` und `b≠1` zwei positive Zahlen. Dann ist der Logarithmus von `y` zur Basis `b` diejenige Zahl `x`, mit der man `b` potenzieren muss, um `y` zu erhalten.

Um die Gleichung `2^x=16` zu lösen, schreibst du `log_2 16`.
Die Ausdrücke `2^x=16` und `log_2 16` sind also gleichbedeutend.

Also:
`log_2 16=4`, da `2^4=2*2*2*2=16`.

Taschenrechner können `log_2 16` berechnen. Probiere es aus. Er wird `4` anzeigen.

Beispiele (1)

Diese Beispiele kannst du alle ohne Taschenrechner nur durch Überlegen lösen:

`log_10 10000=4` , da `10^4=10*10*10*10=10000`

`log_10 10/1000=-3`, da `10^-3=1/[10^3)=1/1000`

`log_3 81=4` , da `3^4=3*3*3*3=81`

`log_{1/4 } 2=-1/2`,
da `(1/4)^(-1/2)=(1/(4^-1))^(1/2)=4^(1/2)=sqrt(4)=2`

Beispiele (2)

Folgende Beispiele kannst du alle ohne Taschenrechner nur durch Überlegen lösen:

`log_5 5/25=-2` ,
da `5^x=1/25` ⇔ `5^x=1/5^2` ⇔ `5^x=5^-2` ⇔ `x=-2`

`log_5 125=3`,
denn `b^3=125` ⇔ `b^3=5^3` ⇔ `b=5`

`log_3 343=7`,
denn `7^3=y` ⇔ `y=343`

`log_9 1=0`,
denn `9^0=y` ⇔ `y=1`

`log_3 sqrt3=0,5`,
da `3^x=sqrt(3)` ⇔ `3^x=3^0,5` ⇔ `x=0,5`

Potenzgesetze:

`1/a^n=a^-n`

`sqrta=a^(1/2)=a^0,5`

Was es sonst noch zu wissen gibt

`a)` Logarithmen von negativen Zahlen existieren nicht, da `b^x` stets positiv ist, wenn `b>0` ist .`y` kann daher nicht den Wert 0 annehmen.

`b)` Da der Logarithmus zur Basis 10 häufig gebraucht wird, schreibt man als Konvention auch `log_10(y)=log(y)`.

Die 10 darfst du als Basis also weglassen.

`c)` `b^1=b`, also `log_b b = 1` für alle `b>0`.

`d)` `b^0=1`, also `log_b 1 = 0` für alle `b>0`.

`d)` Der Fall `b=1` wird ausgeschlossen, da `1^ x` stets gleich `1` ist für alle `x>0`.