Logarithmus und Potenzieren

Zur Erinnerung: Der Logarithmus von `y` zur Basis `b` ist diejenige Zahl `x`, mit der man `b` potenzieren muss, um `y` zu erhalten.

Beispiele:
a) `log_2 (8)=3`, da `2^3=8`.

b) `log_2 (32)=4`, da `2^4=3`

c) `log_9 (1/81)=log_9 (1/(9^2))``=log_9 (9^-2)=-2`,
   da `9^-2=1/81`

Das Hoch-`x`-rechnen machst du mit dem Logarithmus rückgängig.

Hoch-`x`-rechnen und den Logarithmus bilden sind also Umkehroperationen.

`log_b (b^x)=x` und `b^(log_b x)=x`.

Logarithmengesetze:

Für Logarithmen zur Basis `b` mit `b≠1` und `b>0` und für positive reelle Zahlen `u` und `v` sowie eine reelle Zahl `r` gilt:

`log_b (u*v) = log_b (u) + log_b (v)`

`log_b(u/v)=log_b(u)-log_b(v)`

`log_b(u^r)=r*log_b (u)`

Logarithmusfunktion der Exponentialfunktion

Dieses Umkehrprinzip kannst du auf Funktionen übertragen.

Die Exponentialfunktion `y=b^x` `(b≠0)` und die Logarithmusfunktion `y=log_b(x)` (mit `x>0`, `b>0`, `b≠1`) sind Umkehrfunktionen.

Graphisch entsteht die Logarithmusfunktion durch Spiegelung der Exponentialfunktion an der Ursprungsgerade `y=x`.

Beispiel:
`f(x)=2^x` und `g(x)=log_2 (x)`.

Eine Funktion mit der Gleichung `y=log_b (x)` mit `x>0` heißt Logarithmusfunktion zur Basis `b`, wobei `b>0` und `b≠1`.

Eigenschaften der Logarithmusfunktionen

Hier siehst du die Graphen von Logarithmusfunktionen mit verschiedenen Basen `b`:

• Der Graph der Funktion `y=log_b(x)` steigt für `b>1` und fällt für `0<b<1`.
• Der Graph der Funktion `y=log_b(x)` liegt rechts von der `y`-Achse. Für nicht-positive `x`-Werte ist die Funktion nicht definiert.
• Alle Graphen verlaufen durch den Punkt `P(1|0)`. Das ist gleichzeitig die Nullstelle aller Graphen. `P(1|0)` ist der einzige Punkt, in dem sich die Graphen treffen.
• Jede Logarithmusfunktion der Form `y=log_b (x)` verläuft durch den Punkt `(b|1)`.
• Der Graph schmiegt sich für `b>1` dem negativen und für `0<b<1` dem positiven Teil der `y`-Achse an.
• Für `b>1`: Für `x>1` verläuft der Graph oberhalb der `x`-Achse, für `0<x<1` unterhalb der `x`-Achse.
• Für `0<b<1` ist es genau umgekehrt.
• Je dichter `b` bei `1` ist, desto stärker wird der Graph eine Parallele zur `y`-Achse und wäre dann keine Funktion mehr.

Funktionsgleichung aus einem Punkt bestimmen

Du hast gesehen, dass die Graphen der Logarithmusfunktionen `y=log_b (x)` nur genau einen Punkt gemeinsam haben. Jeder andere Punkt legt deshalb eindeutig eine Logarithmusfunktion fest. Wenn du einen Punkt hast, kannst du die Funktion bestimmen!

Beispiele:
Bestimme diejenige Logarithmusfunktion, die durch den Punkt `(2|2)` verläuft. Du setzt dazu die Koordinaten von `P` ein und stellst nach `b` um:

   `y=log_b (x)`

`⇔2=log_b (2)`

`⇔b^2=2`  `| sqrt`

`⇔b=+-sqrt(2)`

`-sqrt(2)` ist als Lösung auszuschließen. Deshalb ist die gesuchte Funktionsgleichung `y=log_(sqrt(2)) (x)`.