Exponentialgleichungen lösen
Exponentialgleichungen
Du kannst schon lineare Gleichungen wie 3x+2=4 oder quadratische Gleichungen wie x2-x-2=0 lösen.
Die Variable x kann aber auch im Exponenten stehen:
ax=b mit a,b∈ℝ, a≠0
Beispiel:
2x=8
Einfache Exponentialgleichungen wie 2x=8 kannst du oft im Kopf lösen: 2 hoch was ist 8?
x=3 ist die Lösung der Gleichung.
Probe:
23=?
Das ist 8. Passt.
Für schwierige Exponentialgleichungen brauchst du den Logarithmus. Erinnere dich: bx=y bedeutet dasselbe wie logb(y)=x .
Beispiel:
2x=32 ist log2(32)
log2(32)=5, da 25=32
Es seien y und b≠1 zwei positive Zahlen.
Gleichungen, bei denen die Variable x im Exponenten steht, heißen Exponentialgleichungen.
Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus lösen
So gehst du vor, wenn du die Exponentialgleichung nicht im Kopf lösen kannst. Logarithmiere die Gleichung auf beiden Seiten. Die Basis des Logarithmus kannst du beliebig wählen. Wende dann die Logarithmusgesetze an.
Beispiel:
3x=2187
log(3x)=log(2187)
x⋅log(3)=log(2187)
x=log(2187)log(3)
Das kannst du jetzt in den Taschenrechner eintippen. Es kommt heraus: x=7
Probe:
37=?
Das ist 2187. Richtig gerechnet!
Logarithmengesetze:
Für Logarithmen zur Basis b mit b≠1 und b>0 und für positive reelle Zahlen u und v sowie eine reelle Zahl r gilt:
1. logb(u⋅v)=logb(u)+logb(v)
2. logb(uv)=logb(u)-logb(v)
3. logb(ur)=r⋅logb(u)
Manchmal müssen die Gleichungen noch verändert werden…
Exponentialgleichungen können einen Faktor haben.
Wie Gleichungen, die du schon kennst, bringst du Exponentialgleichungen auf die Form ax=b.
c⋅ax=b
Bringe die Gleichung in die Form ax=b. Dividiere also durch c.
Beispiel:
2⋅2x=16 |:2
2x=8 |log
log(2x)=log(8) |3. Logarithmengesetz
x⋅log(2)=log(8) |:log(2)
x=log(8)log(2)=3
Probe:
23=?
Das ist 2⋅8=16. Richtig gerechnet!
Exponentialgleichungen können zusätzliche Faktoren oder Summanden haben. Bringe die Gleichung dann immer zuerst auf die Form ax=b.
Logarithmengesetze:
Für Logarithmen zur Basis b mit b≠1 und b>0 und für positive reelle Zahlen u und v sowie eine reelle Zahl r gilt:
1. logb(u⋅v)=logb(u)+logb(v)
2. logb(uv)=logb(u)-logb(v)
3. logb(ur)=r⋅logb(u)
x auf beiden Seiten der Exponentialgleichung
Ein Faktor
c⋅ax=bx
Dividiere die Gleichung durch ax und wende das 4. Potenzgesetz an.
Beispiel:
8⋅8x=16x |8x
8=16x8x ∣4. Potenzgesetz
8=(168)x
8=2x ∣log
log(8)=log(2x) ∣3. Logarithmengesetz
log(8)=x⋅log(2) |log(2)
x=log(8)log(2)=3
Probe:
8⋅83=4096=163
Puuh, richtig gerechnet!
Zwei Faktoren
c⋅ax=d⋅bx
Dividiere die Gleichung durch ax und durch d und wende dann das 4. Potenzgesetz an.
Beispiel:
32⋅8x=4⋅16x |8x
8=(16^x)/(8^x) |1. Potenzgesetz
8=(16/8)^x
8=2^x |log
log(8)=log(2^x) |3. Logarithmengesetz
log(8)=x*log(2) |:log(2)
x=log(8)/log(2)=3
Probe:
32*8^3=4*16^3???
16384=16384
Prima, richtig gerechnet!
Logarithmengesetze:
Für Logarithmen zur Basis b mit b≠1 und b>0 und für positive reelle Zahlen u und v sowie eine reelle Zahl r gilt:
1. log_b (u*v) = log_b (u) + log_b (v)
2. log_b (u/v)= log_b(u)-log_b(v)
3. log_b (u^r)=r*log_b(u)
Potenzgesetze:
Für Potenzen mit den Basen a und b und für rationale Zahlen x,y gilt:
1. (a^x)/(b^x)=(a/b)^x
2. (a^x)^y=a^(x*y)
Noch mehr los im Exponenten
Summe im Exponenten
a^(x+e)=b
Wende das 1. Potenzgesetz an und rechne dann wie gewohnt.
Beispiel:
6^(x+2)=360 |3. Potenzgesetz
6^x*6^2=360 |:6^2
6^x=360/(6^2)
6^x=10 |log |3. Logarithmengesetz
x*log(6)=log(10) |:log(6)
x=log(10)/log(6) approx1,285
Probe:
6^(1,285+2)=???
Das ist ungefähr 360. Richtig gerechnet!
Produkt im Exponenten
a^(e*x) = d * b^x
Wende das 2. Potenzgesetz an und rechne dann wie gewohnt.
Beispiel:
3^(2*x)=4*5^x |2. Potenzgesetz
(3^(2))^x=4*5^x |:5^x
(9^x)/(5^x)=4
1,8^x=4 |log |3. Logarithmengesetz
x*log(1,8)=log(4) |:log(1,8)
x=log(4)/log(1,8) approx2,358
Probe:
3^(2*2,358)=4*5^2,358???
Stimmt, wenn man die Ergebnisse rundet. Richtig gerechnet!
Logarithmengesetze:
Für Logarithmen zur Basis b mit b≠1 und b>0 und für positive reelle Zahlen u und v sowie eine reelle Zahl r gilt:
1. log_b (u*v) = log_b (u) + log_b (v)
2. log_b (u/v)= log_b(u)-log_b(v)
3. log_b (u^r)=r*log_b(u)
Potenzgesetze:
Für Potenzen mit den Basen a und b mit und für rationale Zahlen x,y gilt:
1. (a^x)/(b^x)=(a/b)^x
2. (a^x)^y=a^(x*y)
3. a^(x+y)=a^x*a^y
kapiert.de passt zu deinem Schulbuch!
Buchreihen Mathematik mein Schulbuch suchen
