Exponentialgleichungen lösen
Exponentialgleichungen
Du kannst schon lineare Gleichungen wie $$3x+2=4$$ oder quadratische Gleichungen wie $$x^2-x-2=0$$ lösen.
Die Variable $$x$$ kann aber auch im Exponenten stehen:
$$a^x=b$$ mit $$a,b\in RR$$, $$ a ne 0$$
Beispiel:
$$2^x=8$$
Einfache Exponentialgleichungen wie $$2^x=8$$ kannst du oft im Kopf lösen: $$2$$ hoch was ist $$8$$?
$$x=3$$ ist die Lösung der Gleichung.
Probe:
$$2^3 =?$$
Das ist $$8$$. Passt.
Für schwierige Exponentialgleichungen brauchst du den Logarithmus. Erinnere dich: $$b^x=y$$ bedeutet dasselbe wie $$log_b (y)=x$$ .
Beispiel:
$$2^x=32$$ ist $$log_2(32)$$
$$log_2 (32)=5$$, da $$2^5=32$$
Es seien $$y$$ und $$b≠1$$ zwei positive Zahlen.
Gleichungen, bei denen die Variable $$x$$ im Exponenten steht, heißen Exponentialgleichungen.
Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus lösen
So gehst du vor, wenn du die Exponentialgleichung nicht im Kopf lösen kannst. Logarithmiere die Gleichung auf beiden Seiten. Die Basis des Logarithmus kannst du beliebig wählen. Wende dann die Logarithmusgesetze an.
Beispiel:
$$3^x=2187$$
$$log(3^x)=log(2187)$$
$$x*log(3)=log(2187)$$
$$x=log(2187)/log(3)$$
Das kannst du jetzt in den Taschenrechner eintippen. Es kommt heraus: $$x=7$$
Probe:
$$3^7=?$$
Das ist $$2187$$. Richtig gerechnet!
Logarithmengesetze:
Für Logarithmen zur Basis $$b$$ mit $$b≠1$$ und $$b>0$$ und für positive reelle Zahlen $$u$$ und $$v$$ sowie eine reelle Zahl $$r$$ gilt:
1. $$log_b (u*v) = log_b (u) + log_b (v)$$
2. $$log_b (u/v)= log_b(u)-log_b(v)$$
3. $$log_b (u^r)=r*log_b(u)$$
Manchmal müssen die Gleichungen noch verändert werden…
Exponentialgleichungen können einen Faktor haben.
Wie Gleichungen, die du schon kennst, bringst du Exponentialgleichungen auf die Form $$a^x=b$$.
$$c * a^x=b$$
Bringe die Gleichung in die Form $$a^x=b$$. Dividiere also durch $$c$$.
Beispiel:
$$2*2^x=16$$ |$$:2$$
$$2^x=8$$ |$$log$$
$$log(2^ x)= log(8)$$ |$$3.$$ Logarithmengesetz
$$x*log(2)= log(8)$$ |$$:log(2)$$
$$x=log(8)/log(2)=3$$
Probe:
$$2^3=?$$
Das ist $$2*8=16$$. Richtig gerechnet!
Exponentialgleichungen können zusätzliche Faktoren oder Summanden haben. Bringe die Gleichung dann immer zuerst auf die Form $$a^x=b$$.
Logarithmengesetze:
Für Logarithmen zur Basis $$b$$ mit $$b≠1$$ und $$b>0$$ und für positive reelle Zahlen $$u$$ und $$v$$ sowie eine reelle Zahl $$r$$ gilt:
1. $$log_b (u*v) = log_b (u) + log_b (v)$$
2. $$log_b (u/v)= log_b(u)-log_b(v)$$
3. $$log_b (u^r)=r*log_b(u)$$
$$x$$ auf beiden Seiten der Exponentialgleichung
Ein Faktor
$$c * a^x=b^x$$
Dividiere die Gleichung durch $$a^x$$ und wende das 4. Potenzgesetz an.
Beispiel:
$$8*8^x=16^x$$ $$|:8^x$$
$$8=(16^x)/(8^x)$$ $$|4.$$ Potenzgesetz
$$8=(16/8)^x$$
$$8=2^x$$ $$|log$$
$$log(8)=log(2^x)$$ $$|3.$$ Logarithmengesetz
$$log(8)=x*log(2)$$ $$|:log(2)$$
$$x=log(8)/log(2)=3$$
Probe:
$$8*8^3=4096=16^3$$
Puuh, richtig gerechnet!
Zwei Faktoren
$$c * a^x=d * b^x$$
Dividiere die Gleichung durch $$a^x$$ und durch $$d$$ und wende dann das 4. Potenzgesetz an.
Beispiel:
$$32*8^x=4*16^x$$ $$|:8^x |:4$$
$$8=(16^x)/(8^x)$$ $$|1.$$ Potenzgesetz
$$8=(16/8)^x$$
$$8=2^x$$ $$|log$$
$$log(8)=log(2^x)$$ $$|3.$$ Logarithmengesetz
$$log(8)=x*log(2)$$ $$|:log(2)$$
$$x=log(8)/log(2)=3$$
Probe:
$$32*8^3=4*16^3???$$
$$16384=16384$$
Prima, richtig gerechnet!
Logarithmengesetze:
Für Logarithmen zur Basis $$b$$ mit $$b≠1$$ und $$b>0$$ und für positive reelle Zahlen $$u$$ und $$v$$ sowie eine reelle Zahl $$r$$ gilt:
1. $$log_b (u*v) = log_b (u) + log_b (v)$$
2. $$log_b (u/v)= log_b(u)-log_b(v)$$
3. $$log_b (u^r)=r*log_b(u)$$
Potenzgesetze:
Für Potenzen mit den Basen $$a$$ und $$b$$ und für rationale Zahlen $$x,y$$ gilt:
1. $$(a^x)/(b^x)=(a/b)^x$$
2. $$(a^x)^y=a^(x*y)$$
Noch mehr los im Exponenten
Summe im Exponenten
$$a^(x+e)=b$$
Wende das 1. Potenzgesetz an und rechne dann wie gewohnt.
Beispiel:
$$6^(x+2)=360$$ $$|3.$$ Potenzgesetz
$$6^x*6^2=360$$ $$|:6^2$$
$$6^x=360/(6^2)$$
$$6^x=10$$ $$|log$$ $$|3.$$ Logarithmengesetz
$$x*log(6)=log(10)$$ $$|:log(6)$$
$$x=log(10)/log(6) approx1,285$$
Probe:
$$6^(1,285+2)=???$$
Das ist ungefähr $$360$$. Richtig gerechnet!
Produkt im Exponenten
$$a^(e*x) = d * b^x$$
Wende das 2. Potenzgesetz an und rechne dann wie gewohnt.
Beispiel:
$$3^(2*x)=4*5^x$$ $$|2.$$ Potenzgesetz
$$(3^(2))^x=4*5^x$$ $$|:5^x$$
$$(9^x)/(5^x)=4$$
$$1,8^x=4$$ $$|log$$ $$|3.$$ Logarithmengesetz
$$x*log(1,8)=log(4)$$ $$|:log(1,8)$$
$$x=log(4)/log(1,8) approx2,358$$
Probe:
$$3^(2*2,358)=4*5^2,358???$$
Stimmt, wenn man die Ergebnisse rundet. Richtig gerechnet!
Logarithmengesetze:
Für Logarithmen zur Basis $$b$$ mit $$b≠1$$ und $$b>0$$ und für positive reelle Zahlen $$u$$ und $$v$$ sowie eine reelle Zahl $$r$$ gilt:
1. $$log_b (u*v) = log_b (u) + log_b (v)$$
2. $$log_b (u/v)= log_b(u)-log_b(v)$$
3. $$log_b (u^r)=r*log_b(u)$$
Potenzgesetze:
Für Potenzen mit den Basen $$a$$ und $$b$$ mit und für rationale Zahlen $$x,y$$ gilt:
1. $$(a^x)/(b^x)=(a/b)^x$$
2. $$(a^x)^y=a^(x*y)$$
3. $$a^(x+y)=a^x*a^y$$
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