Logarithmusgesetze

Bei Potenzen und Wurzeln hast du bereits Potenz- und Wurzelgesetze kennengelernt, mit denen du kompliziert erscheinende Terme vereinfachen kannst.

Jetzt kommen die Logarithmengesetze.

Beispiele:
`(2^5)/(2^3)=2^(5-3)=2^2`

`sqrt2*sqrt8=sqrt(2*8)=sqrt16`

Logarithmengesetz 1: Statt Multiplizieren Addieren

Für Logarithmen zur Basis `b` mit `b≠1` und `b>0` und für positive reelle Zahlen `u` und `v` gilt:

`log_b(u*v) = log_b(u) + log _b(v)`

Beispiele:
`log(6) = log(2*3) = log(2) + log(3)`

`log_6(9)+log_6(4)=log_6(9*4)=log_6(36)=2`, denn `6^2=36`

Logarithmengesetz 2: Statt Dividieren Subtrahieren

Für Logarithmen zur Basis `b` mit `b≠1` und `b>0` und für positive reelle Zahlen `u` und `v` gilt:

`log_b(u/v)=log_b(u)-log_b(v)`

Beispiele:

`log(10/2)=log(10)-log(2)=1-log(2)`

`log_2(96)-log_2(3)=log_2(96/3)=log_2(32)=5`, denn `2^5=32.`

Logarithmengesetz 3: Statt Potenzieren Multiplizieren

Für Logarithmen zur Basis `b` mit `b≠1` und `b>0` und für eine positive reelle Zahl `u` sowie eine reelle Zahl `r` gilt:

`log_b(u^r)=r*log_b(u)`

Beispiele:
`log(8)=log(2^3)=3*log(2)`

`2*log_3(9)=log_3(9^2)=log_3(81)=4`, denn `3^4=81`

Noch mehr Beispiele:

a) Gesetz 1:

`log_4(8)+log_4(2)=log_4(8*2)=log_4(16)=2`,

denn `2^4=16`

b) Gesetz 2:

`log_2(24)-log_2(12)-log_2(2)`

`=log_2(24/12)-log_2(2)=log_2(2)-log_2(2)=1-1=0`

c) Gesetz 3:

`3*log_8(2)=log_8(2^3)=log_8(8)=1`,

denn `8^1=8`

d) Zu lösen ist die Gleichung: `log(x) = 2*log(5) + log (3)`.

`log(x) = 2*log(5) + log(3)`

`=log(5^2)+log(3)= log(5^2*3) = log(75)`

Also ist `x=75`.

Und noch mehr Beispiele:

a) `log(3*x)=log(3)+log(x)`

b) `log_a(2ab^2)=log_a(2)+log_a(a)+log_a(b^2)`

`=log_a(2)+1+2*log_a(b)`

c) `log_b((uv)/w)=log_b(uv)-log_b(w)`

`=log_b(u)+log_b(v)-log_b(w)`

d) `log_a(1/x)-log_a(2/x)`

`=log_a(1)-log_a(x)-(log_a(2)-log_a(x))`

`=log_a(1)-log_a(x)-log_a(2)+log_a(x)`

`=log_a(1)-log_a(2)=0-log_a(2)=-log_a(2)`