Die Exponentialfunktion untersuchen 1
Exponentialfunktionen der Form y=bx
Bei Exponentialfunktionen ist das Neue, dass die Veränderliche (das x) im Exponenten steht, also die Hochzahl ist.
Beispiel: y=2x.
Ist x beispielsweise 4, ist der Funktionswert =24=2⋅2⋅2⋅2=16.
Diese Funktionen können genauso wie andere mithilfe von Graphen oder Wertetabellen dargestellt werden.
Die Wertetabelle von y=2x
Du siehst nun für diese Funktion eine Wertetabelle:
Der Funktionswert y verdoppelt sich mit jedem Schritt nach rechts in der Tabelle.
Für das Berechnen der y-Werte sind folgende Potenzgesetze hilfreich:
Für Potenzen ab mit a∈R und b∈Z gilt insbesondere:
a-b=1ab und a0=1.
Der Graph von y=2x
Trägst du die x- und y-Werte ins Koordinatensystem ein, erhältst du folgenden Graphen:
Wie du sehen kannst, steigt der Graph. Die Funktion beschreibt also exponentielles Wachstum. Würde der Graph fallen, hättest du es mit exponentiellem Zerfall zu tun.
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Definition: Exponentialfunktionen der Form y=bx
Eine Funktion mit der Gleichung y=bx mit b>0 und b≠1 heißt Exponentialfunktion zur Basis b.
Das b wird auch Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor genannt.
Der Fall b=1 wird hierbei auch ausgeschlossen, weil für b=1 dort y=1x steht. Das Ergebnis davon ist stets 1, da hierbei lediglich die Zahl 1 beliebig oft mit sich selbst multipliziert wird.
Und wieso soll b nicht negativ sein?
Das ist die Wertetabelle zu y=(-2)x:
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
y | -18 | 14 | -12 | 1 | -2 | 4 | -8 |
Du siehst, dass die y-Werte von + nach – springen. Stell dir das mal im Koordinatensystem vor:
Die Punkte kannst du nicht mit einer Linie verbinden.
Solche Funktionen kommen im Alltag nicht vor, deshalb musst du sie auch nicht untersuchen.:-)
Eigenschaften von Exponentialfunktionen der Form y=bx
Betrachte die Graphen und entdecke allgemeine Eigenschaften.
An den Graphen kannst du sehen:
Der Graph fällt für b zwischen 0 und 1 (exponentieller Zerfall) und steigt für b größer 1 (exponentielles Wachstum).
Die Graphen liegen alle oberhalb der x-Achse. Es gibt also keine negativen y-Werte. Die 0 ist auch kein y-Wert.
Die Graphen schmiegen sich der x-Achse an.
Alle Graphen verlaufen durch den Punkt P(0∣1).
Ist die Basis b ganz dicht bei 1, ähnelt der Graph einer Geraden mit y=1.
Bestimmen der Funktionsgleichung bei gegebenem Punkt
Du hast bereits gesehen, dass sich die Graphen aller Exponentialfunktionen der Form y=bx im Punkt (0∣1) schneiden. Sie haben tatsächlich nur diesen gemeinsam! Die folgende Rechnung macht das plausibel.
Du hast den Punkt (7∣3) gegeben und sollst die dazugehörige Funktionsgleichung angeben:
y=bx | Punkt einsetzen
3=b7 | 7√
b= 7√3≈1,17
⇒y≈1,17x
Die zuletzt beschriebene Funktion enthält diesen Punkt, und zwar nur diese! Sobald sich x oder y ändert, ändert sich auch das b.
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