Wachstum rekursiv beschreiben
Rekursive und direkte Berechnung von Guthaben
Um exponentielle Prozesse zu berechnen, gibt es 2 Möglichkeiten:
rekursiv, indem du schrittweise das $$n$$-te Glied mit dem Wachstumsfaktor multiplizierst, um auf das nächste zu kommen: $$a_(n+1)=a_n * q$$.
explizit oder direkt durch eine Formel: $$a_n=…$$
Rekursiv (lat.): zurückgehend auf Bekanntes
Rekursive Berechnung
Frau Müller möchte Geld sparen. Dazu zahlt sie 3000 € auf ein Sparkonto ein. Die Bank verzinst das Guthaben mit 3,5 % jährlich. Die Zinsen werden dem Guthaben zugeschlagen und dann mitverzinst. Wie viel Geld ist nach 5 Jahren auf dem Konto?
Variante A:
Der Zinssatz ist 3,5 %, also ist der Zinsfaktor (oder Wachstumsfaktor) 1,035.
| Guthaben nach $$0$$ Jahren $$a_0$$: | $$ 12000$$ $$€$$ |
| Guthaben nach $$1$$ Jahr $$a_1$$: | $$12000$$ $$€ cdot 1,035=12420$$ $$€$$ |
| Guthaben nach $$2$$ Jahren $$a_2$$: | $$12420$$ $$€ cdot 1,035=12854,70$$ $$€$$ |
| Guthaben nach $$3$$ Jahren $$a_3$$: | $$12854,70$$ $$€ cdot 1,035=13304,61$$ $$€$$ |
| Guthaben nach $$4$$ Jahren $$a_4$$: | $$13304,61$$ $$€ cdot 1,035=13770,28$$ $$€$$ |
| Guthaben nach $$5$$ Jahren $$a_5$$: | $$13770,28$$ $$€ cdot 1,035=14252,24$$ $$€$$ |
Willst du jetzt z. B. $$a_6$$ wissen, musst du $$a_5$$ nehmen und wieder mit $$1,035$$ multiplizieren.
$$a_6 = a_5 * 1,035 = 14252,24$$ $$€ * 1,035 = …$$
Oder allgemein: $$a_(n+1)=a_n*q$$
Der Nachteil hieran ist, dass man schrittweise vorgehen muss. Um den $$(n+1)$$-ten Wert zu berechnen, muss der $$n$$-te Wert bekannt sein.
Den Zinsfaktor $$q$$ für den Zinssatz $$p$$ berechnest du mit $$q=1+p/100$$.
Direkte Berechnung
Frau Müller möchte Geld sparen. Dazu zahlt sie 3000 € auf ein Sparkonto ein. Die Bank verzinst das Guthaben mit 3,5 % jährlich. Die Zinsen werden dem Guthaben zugeschlagen und dann mitverzinst. Wie viel Geld ist nach 5 Jahren auf dem Konto?
Variante B:
Der Zinssatz ist 3,5 %, also ist der Wachstumsfaktor 1,035.
| Guthaben nach $$1$$ Jahr $$a_1$$: | $$12000$$ $$€ cdot 1,035^1=12420$$ $$€$$ |
| Guthaben nach $$2$$ Jahren $$a_2$$: | $$12000$$ $$€ cdot 1,035^2=12854,70$$ $$€$$ |
| Guthaben nach $$3$$ Jahren $$a_3$$: | $$12000$$ $$€ cdot 1,035^3=13304,61$$ $$€$$ |
| Guthaben nach $$4$$ Jahren $$a_4$$: | $$12000$$ $$€ cdot 1,035^4=13770,28$$ $$€$$ |
| Guthaben nach $$5$$ Jahren $$a_5$$: | $$12000$$ $$€ cdot 1,035^5=14252,24$$ $$€$$ |
Guthaben nach $$n$$ Jahren $$a_n$$: $$a_n=12000*1,035^n$$
In diese Formel muss nur noch das $$n$$ eingesetzt werden und du bekommst die entsprechende Lösung. So ist es im Gegensatz zu Variante A kein Problem, das Guthaben für ein beliebiges Jahr auszurechnen.
Den Zinsfaktor $$q$$ für den Zinssatz $$p$$ berechnest du mit $$q=1+p/100$$.
Die direkte Berechnung kennst du schon als exponentielles Wachstum mit der allgemeinen Form $$f(x)=a*b^x$$ mit $$b>0$$ und $$b != 1$$
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Zahlenfolgen
Bei den Zinseszinsen hast du zu jedem Jahr das Guthaben notiert. Allgemein: Jeder natürlichen Zahl (0,1, 2, 3, …) hast du eine reelle Zahl $$a_n$$ zugeordnet. Mathematiker nennen so eine Zuordnung Zahlenfolge.
Die Zahlen $$a_n$$ heißen Folgenglieder.
Zahlenfolgen kannst du rekursiv und explizit angeben.
Beispiel:
Folge der geraden Zahlen
| $$n$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$ 3$$ | $$4$$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $$a_n$$ | $$a_0=0$$ | $$a_1=2$$ | $$a_2=4$$ | $$a_3=6$$ | $$a_4=8$$ |
Wie findest du die Vorschriften?
Rekursiv: Von Folgeglied zu Folgeglied addierst du $$2$$. Du nimmst also ein beliebiges Folgeglied $$a_n$$ und rechest $$+ 2$$. So erhältst du das nächste Folgeglied $$a_(n+1)$$. Außerdem gibst du immer das Startglied an: $$a_0$$ ist $$0$$. Vorschrift: $$a_(n+1)=a_n + 2$$
$$a_0=0$$
Explizit: Von $$n$$ zu $$a_n$$ kommst du, indem du mal $$2$$ rechnest.
$$a_n=2n$$
Noch ein Beispiel
Wie im Beispiel oben lässt sich auch die Zahlenfolge der ungeraden Zahlen rekursiv und explizit angeben.
| $$n$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$ 3$$ | $$4$$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $$a_n$$ | $$a_0=1$$ | $$a_1=3$$ | $$a_2=5$$ | $$a_3=7$$ | $$a_4=9$$ |
Rekursiv: Von Folgeglied zu Folgeglied addierst du $$2$$. Das Startglied ist $$1$$.
$$a_(n+1) = a_n + 2$$ und $$a_0=1$$.
Explizit: Von $$n$$ zu $$a_n$$ kommst du, indem du mal $$2$$ und plus $$1$$ rechnest.
$$a_n = 2n + 1$$.
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