Wachstum rekursiv beschreiben

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Wachstum rekursiv beschreiben

Rekursive und direkte Berechnung von Guthaben

Um exponentielle Prozesse zu berechnen, gibt es 2 Möglichkeiten:

rekursiv, indem du schrittweise das $n$ -te Glied mit dem Wachstumsfaktor multiplizierst, um auf das nächste zu kommen: $a_(n+1)=a_n * q$ .
explizit oder direkt durch eine Formel: $a_n=…$

Rekursiv (lat.): zurückgehend auf Bekanntes

Rekursive Berechnung

Frau Müller möchte Geld sparen. Dazu zahlt sie 3000 € auf ein Sparkonto ein. Die Bank verzinst das Guthaben mit 3,5 % jährlich. Die Zinsen werden dem Guthaben zugeschlagen und dann mitverzinst. Wie viel Geld ist nach 5 Jahren auf dem Konto?

Variante A:

Der Zinssatz ist 3,5 %, also ist der Zinsfaktor (oder Wachstumsfaktor) 1,035.

Guthaben nach $0$ Jahren $a_0$ :	$12000$ $€$
Guthaben nach $1$ Jahr $a_1$ :	$12000$ $€ cdot 1,035=12420$ $€$
Guthaben nach $2$ Jahren $a_2$ :	$12420$ $€ cdot 1,035=12854,70$ $€$
Guthaben nach $3$ Jahren $a_3$ :	$12854,70$ $€ cdot 1,035=13304,61$ $€$
Guthaben nach $4$ Jahren $a_4$ :	$13304,61$ $€ cdot 1,035=13770,28$ $€$
Guthaben nach $5$ Jahren $a_5$ :	$13770,28$ $€ cdot 1,035=14252,24$ $€$

Willst du jetzt z. B. $a_6$ wissen, musst du $a_5$ nehmen und wieder mit $1,035$ multiplizieren.
$a_6 = a_5 * 1,035 = 14252,24$ $€ * 1,035 = …$

Oder allgemein: $a_(n+1)=a_n*q$

Der Nachteil hieran ist, dass man schrittweise vorgehen muss. Um den $(n+1)$ -ten Wert zu berechnen, muss der $n$ -te Wert bekannt sein.

Den Zinsfaktor $q$ für den Zinssatz $p$ berechnest du mit $q=1+p/100$ .

Direkte Berechnung

Variante B:

Der Zinssatz ist 3,5 %, also ist der Wachstumsfaktor 1,035.

Guthaben nach $1$ Jahr $a_1$ :	$12000$ $€ cdot 1,035^1=12420$ $€$
Guthaben nach $2$ Jahren $a_2$ :	$12000$ $€ cdot 1,035^2=12854,70$ $€$
Guthaben nach $3$ Jahren $a_3$ :	$12000$ $€ cdot 1,035^3=13304,61$ $€$
Guthaben nach $4$ Jahren $a_4$ :	$12000$ $€ cdot 1,035^4=13770,28$ $€$
Guthaben nach $5$ Jahren $a_5$ :	$12000$ $€ cdot 1,035^5=14252,24$ $€$

Guthaben nach $n$ Jahren $a_n$ : $a_n=12000*1,035^n$

In diese Formel muss nur noch das $n$ eingesetzt werden und du bekommst die entsprechende Lösung. So ist es im Gegensatz zu Variante A kein Problem, das Guthaben für ein beliebiges Jahr auszurechnen.

Den Zinsfaktor $q$ für den Zinssatz $p$ berechnest du mit $q=1+p/100$ .

Die direkte Berechnung kennst du schon als exponentielles Wachstum mit der allgemeinen Form $f(x)=a*b^x$ mit $b>0$ und $b != 1$

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Zahlenfolgen

Bei den Zinseszinsen hast du zu jedem Jahr das Guthaben notiert. Allgemein: Jeder natürlichen Zahl (0,1, 2, 3, …) hast du eine reelle Zahl $a_n$ zugeordnet. Mathematiker nennen so eine Zuordnung Zahlenfolge.
Die Zahlen $a_n$ heißen Folgenglieder.

Zahlenfolgen kannst du rekursiv und explizit angeben.

Beispiel:

Folge der geraden Zahlen

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$a_n$	$a_0=0$	$a_1=2$	$a_2=4$	$a_3=6$	$a_4=8$

Wie findest du die Vorschriften?

Rekursiv: Von Folgeglied zu Folgeglied addierst du $2$ . Du nimmst also ein beliebiges Folgeglied $a_n$ und rechest $+ 2$ . So erhältst du das nächste Folgeglied $a_(n+1)$ . Außerdem gibst du immer das Startglied an: $a_0$ ist $0$ . Vorschrift: $a_(n+1)=a_n + 2$
$a_0=0$

Explizit: Von $n$ zu $a_n$ kommst du, indem du mal $2$ rechnest.
$a_n=2n$

Noch ein Beispiel

Wie im Beispiel oben lässt sich auch die Zahlenfolge der ungeraden Zahlen rekursiv und explizit angeben.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$a_n$	$a_0=1$	$a_1=3$	$a_2=5$	$a_3=7$	$a_4=9$

Rekursiv: Von Folgeglied zu Folgeglied addierst du $2$ . Das Startglied ist $1$ .
$a_(n+1) = a_n + 2$ und $a_0=1$ .

Explizit: Von $n$ zu $a_n$ kommst du, indem du mal $2$ und plus $1$ rechnest.
$a_n = 2n + 1$ .

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Rekursive und direkte Berechnung von Guthaben

Rekursive Berechnung

Variante A:

Oder allgemein: $a_(n+1)=a_n*q$

Direkte Berechnung

Variante B:

Guthaben nach $n$ Jahren $a_n$ : $a_n=12000*1,035^n$

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Beispiel:

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Oder allgemein: an+1=an⋅qa_(n+1)=a_n*q

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