Exponentielle Abnahme
Immer kleiner und doch nicht weg
Duc und Hieu sind begeisterte Modellbauer. Sie übertrumpfen sich mit immer kleineren Modellen.
Beim Modellbau werden alle Originallängen in einem festen Maßstab verkleinert. Ein Auto wird zum Beispiel mit dem Maßstab 1:10 nachgebaut. 1 cm im Modell enspricht 10 cm in der Wirklichkeit. Die Längen des Modells sind 1/10 des Originals.
Ist ein Auto ursprünglich 4,53 m lang, ist das Modell 0,453 m (45,3 cm) lang.
Nun ist ein Wettstreit unter den beiden ausgebrochen. Duc verkleinert das Modell von Hieu ebenfalls im Maßstab 1:10. Hieu lässt es nicht auf sich sitzen und verkleinert dieses Modell nun weiter. Es entsteht folgende Tabelle:
Das letzte Modell ist nur noch 4,53 mm groß. Theoretisch kann man mit der Verkleinerung immer weiter machen und weiter $$*1/10$$ rechnen. Mathematisch ja, aber praktisch lassen sich dann keine Modelle bauen.:-)
Eine Verkleinerung (oder ein Zerfall), bei der jeder Funktionswert durch Multiplikation des vorhergehenden Funktionswerts mit einem festen Faktor zwischen 0 und 1 gebildet wird, heißt exponentieller Zerfall.
Bild: fotolia.com
Bei exponentiellem Wachstum multiplizierst du mit einer Zahl größer als 1.
Medikamente im menschlichen Körper
Wegen Vitaminmangel soll Anna 20 mg Vitamin D einmal in der Woche zu sich nehmen.
Nach einem Tag ist 1/5 des Vitamins aufgebraucht. Das heißt, es sind noch 4/5 im Körper. Anna fertigt eine Tabelle und einen Funktionsgraph an, um sich die Abnahme zu verdeutlichen.
| Nach 1 Tag | $$20$$ $$mg cdot 4 / 5 = 16$$ $$mg $$ |
| Nach 2 Tagen | $$16$$ $$mg cdot 4/5 =12,8$$ $$mg $$ |
| Nach 3 Tagen | $$ 12,8$$ $$mg cdot 4/5=10,24$$ $$mg$$ |
Dabei fällt ihr auf, dass sie ja so auch viel einfacher die Werte ausrechnen kann: Dabei hat sie als erste Zahl immer den Anfangswert 20 mg zu stehen:
| Nach 1Tag | $$20$$ $$mg cdot 4 / 5 = 16 $$ $$mg$$ |
| Nach 2 Tagen | $$20$$ $$ mg cdot (4/5)^2 =12,8$$ $$mg $$ |
| Nach 3 Tagen | $$ 20$$ $$ mg cdot (4/5)^3=10,24$$ $$ mg$$ |
Als Funktion geschrieben wäre das $$f(x)=20*(4/5)^x$$
Die allgmeine Form ist: $$f(x)=a*b^x$$ $$(b>0$$ und $$b != 1)$$
So sieht der Graph aus:
Exponentieller Zerfall wird meist in Abhängigkeit von der Zeit untersucht. Deshalb findest du meist die Variable $$t$$ anstatt $$x$$.
Für die Funktionsgleichung nimmst du den Startwert $$N_0$$ (hier 20 mg) und multiplizierst mit dem Abnahmefaktor (hier $$4/5$$) hoch der Zeit:
$$N(t)=N_0 cdot b^t$$ mit $$0<b<1$$
Statt mit einer Dezimalzahl aus Prozentangaben 80% = 0,8 kannst du auch mit Brüchen rechnen. $$80%=4/5$$
Radioaktiver Zerfall
Radioaktive Präparate werden auch in der Medizin eingesetzt. Ihr Bestand nimmt ebenfalls ab.
Bei radioaktiven Präparaten benutzt du oft die Halbwertszeit. Das ist die Zeitspanne, nach der das Präparat die Hälfte des Ursprungswerts angenommen hat.
Bei exponentieller Abnahme ist die Zeitspanne immer gleich, wenn sich die Menge des Materials halbiert.
| Zeit in Tagen | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Zerfälle pro Sekunde | 100 | 71 | 50 | 35 | 25 |
Hier ist die Halbwertzeit 2 Tage.
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Zusammenfassung
| Name | exponentielles Wachstum | exponentielle Abnahme |
|---|---|---|
| Eigenschaft | Zahlenwerte ändern sich immer mit dem selben Faktor zum vorigen Wert. Faktor ist größer als 1 | Zahlenwerte ändern sich immer mit dem selben Faktor zum vorigen Wert. Faktor liegt zwischen 0 und 1 |
| Funktions- gleichung | $$f(x)=a*b^x$$ $$a!=0;b >1$$ | $$f(x)=a*b^x$$ $$a!=0;0<b <1$$ |
| Änderungs- rate | nimmt zu. Änderungsfaktor bleibt aber gleich | nimmt ab. Änderungsfaktor bleibt aber gleich |
| Berechnung | Zur Berechnung des nachfolgenden Funktionswertes wird immer die selbe Zahl mit dem Funktionswert multipliziert | Zur Berechnung des nachfolgenden Funktionswertes wird immer die selbe Zahl mit dem Funktionswert multipliziert |
| Graph |  Graph einer exponentiellen Funktion steigt für größer werdende x ins Unendliche |  Graph einer exponentiellen Funktion schmiegt sich für größer werdende x an die x-Achse an |
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