Nullstellen ganzrationaler Funktionen bestimmen
Nullstellen ganzrationaler Funktionen bestimmen
Damit Du die Nullstellen ganzrationaler Funktionen finden kannst, gibt es verschiedene Ansätze. Wir fangen mit den Funktionen mit niedrigstem Grad an.
Nullstellen linearer und quadratischer Funktionen
Die einfachste ganzrationale Funktion ist die lineare Funktion wie zum Beispiel
f(x)=2x-6.
Ist x0 eine Nullstelle von f(x), dann muss gelten: f(x0)=0, also
2x0-6=0
⇔ 2x0=6 ⇔ x0=3
Somit hat f bei x0=3 eine Nullstelle.
Eine ganzrationale Funktion 2. Grades ist eine quadratische Funktion wie
g(x)=x2+x-2
Hier kannst Du die p-q-Formel nutzen:
Ansatz: x20+x0-2=0
Die Gleichung x2+px+q=0 hat die Lösungen x1,2=-(p2)±√(p24)-q.
Mit p=1,q=-2 erhältst du x1=-12+√14+2=-12+√94=-12+32=1 und x2=-12-√14+2=-12-√94=-12-32=-2
Oder Du nutzt die a-b-c-Formel:
Die Gleichung ax2+bx+c=0 mit a±0 hat die Lösungen
x1,2=-b±√b2-4ac2a.
Mit a=1,b=1,c=-2 erhältst du
x1=-1+√1-4⋅1⋅(-2)2=-1+√92=1 und x2=-1-√1-4⋅1⋅(-2)2=-1-√92=-2.
((Grafik einfügen: 3_18_3_VE-1)) ((Grafik einfügen: 3_18_3_VE-2))
Nullstellen ganzrationaler Funktionen höheren Grades
Haben die ganzrationalen Funktionen einen Grad größer als 2, kann das Finden von Nullstellen schwieriger sein. Wir nehmen einmal an, dass es eine ganzzahlige Nullstelle gibt. Schau Dir dazu diese Funktion an:
(3) f(x)=x3-x2-4x+4
Mit ein wenig Probieren oder Raten kannst du vielleicht auf die Nullstelle x0=1 kommen, denn es gilt f(1)=13-12-4+4=0.
Damit hast du einen Linearfaktor, hier (x0-1) gefunden. Nun kannst du einen wichtigen Satz anwenden:
Du findest die Funktion g durch eine Polynomdivision: f(x):(x-1)=g(x), die hier noch einmal an der Beispielaufgabe wiederholt werden soll.
Polynomdivision
Damit folgt f(x)=(x-1)⋅(x2-4)=(x-1)⋅(x+2)⋅(x-2). Als Nullstellen erhalten wir: x1=-2,x2=1 und x3=2.
Ist x0 eine Nullstelle der ganzrationalen Funktion f, dann gilt: f(x)=(x-x0)⋅g(x) , wobei g eine ganzrationale Funktion mit einem Grad kleiner ist als der von f.
Schlussfolgerungen
Was kannst Du allgemein daran erkennen?
Ist f eine ganzrationale Funktion in der Standardform mit allen aiganzzahlig und a0≠0, so sind die ganzzahligen Nullstellen von f immer Teiler von a0.
Ist x0 eine Nullstelle von f, so gilt f(x)=(x-x0)⋅g(x). Der Grad von g ist um 1 kleiner als der von f.
Weiteres Beispiel:
Bei f(x)=x3(x-1)2 ist x1=0 eine dreifache und x2=1 eine zweifache Nullstelle.
Allgemein gilt: Eine ganzrationale Funktion mit dem Grad n hat maximal n Nullstellen, dabei werden mehrfache Nullstellen auch mehrfach gezählt.
Kannst du aus f(x) den Faktor (x-x0) mehrfach ausklammern, so wird x0 als mehrfache Nullstelle bezeichnet.
Nullstellen einer Funktion in der biquadratischen Form
Manchmal lassen sich auch Funktionen höheren Grades mit den bekannten Ansätzen für quadratische Gleichungen lösen. Schau Dir dazu diese Funktion an:
f(x)=2x4-10x2+8
Wenn Du diese Funktion gleich Null setzt und durch 2 teilst, wird aus
2x4-10x2+8=0
die Gleichung
x4-5x2+4=0.
Nun kannst du substituieren, das heißt Du ersetzt das x2 durch eine anders genannte Variable: x2=u. Damit folgt eine Gleichung , die du jetzt mit der p-q-Formel lösen kannst:
u2-5u+4=0.
Rechne nun selbst: Mit p=-5 und q=4 erhältst du u1=4 und u2=1.
Jetzt musst Du dies noch zurück substituieren: aus x2=u folgt x=±√u. Du erhältst hier also die vier Nullstellen x1,2=±2 und x3,4=±1.
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