Nullstellen ganzrationaler Funktionen bestimmen

Nullstellen ganzrationaler Funktionen bestimmen

Damit Du die Nullstellen ganzrationaler Funktionen finden kannst, gibt es verschiedene Ansätze. Wir fangen mit den Funktionen mit niedrigstem Grad an.

Nullstellen linearer und quadratischer Funktionen

Die einfachste ganzrationale Funktion ist die lineare Funktion wie zum Beispiel

f(x)=2x-6.

Nullstellen ganzrationaler Funktionen bestimmen

Ist x0 eine Nullstelle von f(x), dann muss gelten: f(x0)=0, also

2x0-6=0

   2x0=6     x0=3

Somit hat f bei x0=3 eine Nullstelle.

Eine ganzrationale Funktion 2. Grades ist eine quadratische Funktion wie

g(x)=x2+x-2

Nullstellen ganzrationaler Funktionen bestimmen

Hier kannst Du die p-q-Formel nutzen:

Ansatz:   x20+x0-2=0

Die Gleichung x2+px+q=0 hat die Lösungen x1,2=-(p2)±(p24)-q.

Mit p=1,q=-2 erhältst du x1=-12+14+2=-12+94=-12+32=1 und x2=-12-14+2=-12-94=-12-32=-2

Oder Du nutzt die a-b-c-Formel:

Die Gleichung ax2+bx+c=0 mit a±0 hat die Lösungen

x1,2=-b±b2-4ac2a.

Mit a=1,b=1,c=-2 erhältst du

x1=-1+1-41(-2)2=-1+92=1 und x2=-1-1-41(-2)2=-1-92=-2.

((Grafik einfügen: 3_18_3_VE-1))         ((Grafik einfügen: 3_18_3_VE-2))

Nullstellen ganzrationaler Funktionen höheren Grades

Haben die ganzrationalen Funktionen einen Grad größer als 2, kann das Finden von Nullstellen schwieriger sein. Wir nehmen einmal an, dass es eine ganzzahlige Nullstelle gibt. Schau Dir dazu diese Funktion an:

(3) f(x)=x3-x2-4x+4

Mit ein wenig Probieren oder Raten kannst du vielleicht auf die Nullstelle x0=1 kommen, denn es gilt f(1)=13-12-4+4=0.

Damit hast du einen Linearfaktor, hier (x0-1) gefunden. Nun kannst du einen wichtigen Satz anwenden:

Du findest die Funktion g durch eine Polynomdivision: f(x):(x-1)=g(x), die hier noch einmal an der Beispielaufgabe wiederholt werden soll.

Polynomdivision

Nullstellen ganzrationaler Funktionen bestimmen

Damit folgt f(x)=(x-1)(x2-4)=(x-1)(x+2)(x-2). Als Nullstellen erhalten wir: x1=-2,x2=1 und x3=2.

Nullstellen ganzrationaler Funktionen bestimmen

Ist x0 eine Nullstelle der ganzrationalen Funktion f, dann gilt: f(x)=(x-x0)g(x) , wobei g eine ganzrationale Funktion mit einem Grad kleiner ist als der von f.

Schlussfolgerungen

Was kannst Du allgemein daran erkennen?

  1. Ist f eine ganzrationale Funktion in der Standardform mit allen aiganzzahlig und a00, so sind die ganzzahligen Nullstellen von f immer Teiler von a0.

  2. Ist x0 eine Nullstelle von f, so gilt f(x)=(x-x0)g(x). Der Grad von g ist um 1 kleiner als der von f.

Weiteres Beispiel:

Bei f(x)=x3(x-1)2 ist x1=0 eine dreifache und x2=1 eine zweifache Nullstelle.

Allgemein gilt: Eine ganzrationale Funktion mit dem Grad n hat maximal n Nullstellen, dabei werden mehrfache Nullstellen auch mehrfach gezählt.

Kannst du aus f(x) den Faktor (x-x0) mehrfach ausklammern, so wird x0 als mehrfache Nullstelle bezeichnet.

Nullstellen einer Funktion in der biquadratischen Form

Manchmal lassen sich auch Funktionen höheren Grades mit den bekannten Ansätzen für quadratische Gleichungen lösen. Schau Dir dazu diese Funktion an:

f(x)=2x4-10x2+8

Wenn Du diese Funktion gleich Null setzt und durch 2 teilst, wird aus

2x4-10x2+8=0

die Gleichung

x4-5x2+4=0.

Nun kannst du substituieren, das heißt Du ersetzt das x2 durch eine anders genannte Variable: x2=u. Damit folgt eine Gleichung , die du jetzt mit der p-q-Formel lösen kannst:

u2-5u+4=0.

Rechne nun selbst: Mit p=-5 und q=4 erhältst du u1=4 und u2=1.

Jetzt musst Du dies noch zurück substituieren: aus x2=u folgt x=±u. Du erhältst hier also die vier Nullstellen x1,2=±2 und x3,4=±1.

Nullstellen ganzrationaler Funktionen bestimmen





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