Parameter quadratischer Funktionen untersuchen 3
Verschieben nach rechts und links
Los geht’s immer mit der Normalparabel und den Punkten (0∣0),(1∣1),(-1∣1),(2∣4),(-2∣4).
Der Einfluss des Parameters d bei f(x)=(x-d)2:
Du kannst die Normalparabel entlang der x-Achse nach rechts und links verschieben.
Was der Parameter d in f(x)=(x-d)2 bewirkt, kannst du hier auch selbst ausprobieren: verändere den Parameter d und schau, was passiert.
f(x)=(x-0)2=x2
Bei der Funktionsgleichung der Normalparabel ist der Wert des Parameters d gleich Null.
Der Einfluss des Parameters d für d=+2
Stell dir vor, du nimmst den Graphen der Normalparabel in die Hand und verschiebst ihn um 2 Einheiten nach rechts.
Der „normale“ Scheitelpunkt (0∣0) liegt jetzt bei (2∣0).
Der „normale“ Punkt (1∣1) liegt bei (3∣1) usw.
Du siehst, dass die roten Verschiebungspfeile parallel zur x-Achse verlaufen. Deshalb sprechen Mathematiker von der „Verschiebung parallel zur x-Achse“.
Fortsetzung
Du kannst erkennen, dass durch die Verschiebung nach rechts den „alten“ y-Werten neue x-Werte zugeordnet werden.
Der y-Wert 0 liegt nun beim x-Wert 2. Den y-Wert 1 findest du bei 1 (vorher -1) und 3 (vorher 1).
Es findet also zunächst eine Veränderung der x-Werte statt, um den neuen Verlauf der Normalparabel zu erhalten.
Die Funktionsgleichung muss demnach die folgende Form haben:f(x)=(x±?)2
Setzt du jetzt in die gesuchte Funktionsgleichung für x den Wert 2 ein, so muss für y der Wert 0 herauskommen (siehe neuer Scheitelpunkt).
Es gilt also: f(2)=(2±?)2=0. Damit kommt nur (2-2)2=0 infrage, damit die Gleichung stimmt. Die Funktionsgleichung lautet also: f(x)=(x-2)2.
Überprüfe diese Funktionsgleichung für andere Punkte.
f(-1)=(-1-2)2=(-3)2=9
f(0)=(0-2)2=(-2)2=4
f(1)=(1-2)2=(-1)2=1
Die Werte passen.
Fazit: Schiebst du also die Normalparabel um zwei Einheiten nach rechts (+2), so lautet die zugehörige Funktionsgleichung f(x)=(x-2)2.
Der Einfluss des Parameters d für d=-3
Nimm die Normalparabel wieder in die Hand und schiebe sie dieses Mal um drei Einheiten nach links.
Der „normale“ Scheitelpunkt S(0∣0) verschiebt sich auf S(-3∣0), der Punkt (1∣1) verschiebt sich auf (-2∣1) usw.
Fortsetzung
Überlege dir wieder: Beim Einsetzen in die gesuchte Funktionsgleichung für den x-Wert -3 muss der y-Wert 0 herauskommen.
Die mögliche Funktionsgleichung lautet daher: f(x)=(x+3)2, dennf(-3)=(-3+3)2=0
Überprüfe weitere Punkte der veränderten Normalparabel:
f(0)=(0+3)2=32=9
f(-1)=(-1+3)2=22=4
f(-2)=(-2+3)2=12=1
Die gefundene Funktionsgleichung erfüllt alle Punktpaare.
Fazit: Schiebst du die Normalparabel um drei Einheiten nach links (-3), so lautet die zugehörige Funktionsgleichung f(x)=(x+3)2.
Wertetabellen
So sehen die Wertetabellen der beiden Funktionen aus:
d=+2:
Die „normalen“ y-Werte findest du wieder, wenn du bei den x-Werten zwei Schritte (Einheiten) nach rechts gehst.
d=-3:
Für d=-3 findest du die „normalen“ y-Werte wieder, wenn du bei den x-Werten drei Schritte (Einheiten) nach links gehst.
Im Überblick
Bei einer Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts lautet die zugehörige Funktionsgleichung f(x)=(x-2)2.
Bei einer Verschiebung um 3 Einheiten nach links lautet die zugehörige Funktionsgleichung f(x)=(x+3)2.
Der Parameter d bei der Verschiebung nach rechts ist positiv.
Der Parameter d bei der Verschiebung nach links ist negativ.
Die allgemeine Funktionsgleichung lautet wie folgt: f(x)=(x-d)2.
Ist d nämlich positiv (+d), dann lautet die Funktionsgleichung f(x)=(x-(+d))2=(x-d)2.
Ist d negativ (-d), dann lautet die Funktionsgleichung f(x)=(x-(-d))2=(x+d)2.
Der Scheitelpunkt einer um d verschoben Normalparabel mit der Gleichung f(x)=(x-d)2 liegt bei (d∣0).
Zwei abschließende Beispiele
f(x)=(x-4)2
Das Minuszeichen in der Klammer sagt dir, dass die Normalparabel nach rechts um 4 Einheiten verschoben wird, weil der Parameter d=+4 ist.
Der Scheitelpunkt liegt bei S(4∣0).
f(x)=(x+12)2
Das Pluszeichen in der Klammer sagt dir, dass die Normalparabel nach links verschoben wird, und zwar um eine halbe Einheit, da der Parameter d=-12 ist. Der Scheitelpunkt liegt bei S(-12∣ 0).
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