Verschiedene Ableitungsregeln anwenden
Regeln für Ableitungen
Damit Du nicht bei jeder neuen Ableitung von vorne anfangen musst, gibt es einige Regeln beim Ableiten, die Dir bei der Bestimmung helfen können.
Erinnerst Du Dich noch, wie wir auf die Ableitung gekommen sind?
Wir haben die Tangentensteigung eines Graphen einer Funktion $$f$$ an einer bestimmten Stelle $$x_0$$ betrachtet. Diese Tangentensteigung wird auch als Ableitung der Funktion an der Stelle $$x_0$$ bezeichnet, auch geschrieben als $$f^\prime(x_0)$$.
Da $$x_0$$ beliebig gewählt werden kann, ersetzen wir $$x_0$$ durch $$x$$ und erhalten für die Darstellung der Ableitung den Term $$f^\prime(x)$$ .
Potenzregel
Ableitung von Potenzfunktionen
Für die Ableitung der Potenzfunktion mit dem Exponenten $$2$$, also $$f(x)=x^2$$, wurde für beliebiges $$x$$ als Tangentensteigung notiert: $$f^\prime(x)=2x$$.
Der Exponent wurde als Faktor vor die Variable gesetzt und um 1 erniedrigt. Übertragen wir dies auf die Potenzfunktion $$f(x)= x^3$$, so erhalten wir als Ableitung $$f^\prime(x)= 3x^2$$.
Verallgemeinern wir dies für beliebige Exponenten $$n$$, so gewinnen wir die Potenzregel.
Beispiele:
$$f(x)=x^3 rarr f^\prime(x)=3x^2$$
$$f(x)=x^1001 rarr f^\prime(x)=1001x^1000$$
Diese Regel gilt auch für den Fall, dass die Potenzfunktion eine andere Gestalt hat:
$$f(x)=x^-2 rarr f^\prime(x)=-2x^-3=-(2/x^3)$$
$$f(x)=sqrt x rarr f^\prime(x)= 1/(2sqrt (x) $$
$$f(x)=root 3 (x)=x^(1/3) rarr f^\prime(x)=1/3x^(-2/3)=1/(3root 3 (x^2) $$
Eine Funktion $$f(x)=x^n$$ hat die Ableitung $$f^’(x)=n*x^(n-1)$$.
Bei einer konstante Funktion $$f(x) = c$$ mit $$c in RR$$ hat die Ableitung überall den Wert $$0$$ - es gilt also in diesem Fall $$f^’(x)=0$$.
Faktorregel
Hast Du eine Funktion mit einem Vorfaktor, ist die Regel besonders einfach:
Wenn die Ableitung $$g^\prime(x)$$ der Funktion $$g(x)$$ existiert, dann existiert auch die Ableitung der Funktion $$f(x)=k*g(x)$$ mit $$k in RR$$ und es gilt $$f^\prime(x)=k*g^\prime(x)$$.
Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten.
Beispiele:
$$f(x)=-6x^3 rarr f^\prime(x)=(-6)*3x^2= -18x^2$$
$$f(x)=7x^4 rarr f^\prime(x)=7*4x^3=28x^3$$
$$f(x)=-3/4 x^16 rarr f^\prime(x)=-3/4 (16x^15)=-12x^15$$
$$f(x)=6/x^2=6x^-2 rarr f^\prime(x)=6(-2x^-3)=-12x^-3=-12/x^3 $$
Summen- und Differenzregel
Wenn Du eine Summe oder Differenz zweier Funktionen ableiten möchtest, dann bleibt diese Summe oder Differenz auch bei den Ableitungen genauso bestehen.
Mathematisch ausgedrückt heißt das:
Wenn $$f(x)=u(x) + v(x) $$ und $$u^\prime(x)$$ und $$v^\prime(x)$$ existieren, dann gilt
$$f^\prime(x)=u^\prime(x)+v^\prime(x)$$.
Wenn $$f(x)=u(x) - v(x) $$ und $$u^\prime(x)$$ und $$v^\prime(x)$$ existieren, dann gilt
$$f^\prime(x)=u^\prime(x)-v^\prime(x)$$.
Beispiele:
$$f(x)=8x^3+16x^2 rarr f^\prime(x)=8(3x^2) +16(2x)=24x^2+32x$$
$$f(x)=7x^7-3x^-8 rarr f^\prime(x)=7(7x^6) -3(-8x^-9)=49x^6+24x^-9$$
$$f(x)= 8x^4-6sqrtx+10/x rarr f^\prime(x)=32x^3-3/sqrtx-10/x^2 $$
$$f(x)= 5root 3 (x^2) +4x^-2+9 rarr f^\prime(x)=10/3(x^-(1/3))-8/x^3=10/(3root 3 x) - 8/x^3$$
Man sagt auch: Eine Summe bzw. Differenz wird gliedweise differenziert.
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