Zur Erinnerung: Betrag einer Zahl

Zahlengerade

Du findest auf der Zahlengeraden links von der Null die negativen Zahlen und rechts von der Null die positiven Zahlen.

Vorzeichen - Betrag

Die Zahlen haben verschiedene Vorzeichen: minus und plus. Das Pluszeichen schreibst du meist gar nicht mit.

Der Betrag ist der Abstand von der Null.

Die Zahl 3 hat den Abstand 3 von der Null. Die Zahl -2 hat den Abstand 2 von der Null.

Schreibweise für den Betrag:
$$|3| = 3$$
$$|-2| = 2$$

Die Zahlen mit demselben Abstand von null, jedoch mit verschiedenen Vorzeichen, haben denselben Betrag.

Beispiel:
$$|-2,5| = |+2,5| = 2,5$$

Allgemein gilt: $$ |a| = {( a, für   a ge 0),(-a, für   a < 0):} $$

Weitere Beispiele:

$$|-1/2|=1/2$$

$$|0| = 0$$

Die lineare Betragsfunktion $$y = | x |$$

Wenn du alle Zahlen nimmst und den Zahlen ihren Betrag zuordnest, erhältst du die Betragsfunktion.

Graph der Betragsfunktion

Wenn du den Graphen der Betragsfunktion zeichnen möchtest, legst du eine Wertetabelle an.

Du siehst in der Abbildung, dass sich der Graph aus zwei Halbgeraden zusammensetzt.
Die rechte Halbgerade ist die Gerade $$y = f(x) = x$$ mit $$x ge 0$$.
Die linke Halbgerade ist die Gerade $$y = f(x) = -x$$ mit $$x < 0$$.

Das Minimum der Betragsfunktion - auch Spitze genannt - liegt im Punkt $$S(0|0)$$.

Definition der Betragsfunktion

Mathematiker beschreiben die Betragsfunktion so:

Die Funktion $$f : x $$→$$ |x|$$ mit $$D =$$ $$RR$$, heißt lineare Betragsfunktion.
Allgemein gilt: $$y=f(x)= |x| = {( x, für   x ge 0),(-x, für   x < 0):} $$

Betragsfunktionen der Form $$y = f(x) = | x - a |$$

Du kannst den Graphen der Betragsfunktion nach links oder rechts verschieben. Dann lautet die Funktionsgleichung $$y = f(x) = | x - a |$$ mit $$D =$$ $$RR$$.

Der Buchstabe a ist ein Parameter. Du kannst alle möglichen Zahlen für a einsetzen.

• $$a>0$$
  Alle Funktionswerte y werden um a erhöht.
  Beispiel: Bei der Funktion $$y = | x - 1 |$$ ist $$a = 1$$.
  Der Graph der Funktion ist im Vergleich zu $$y = | x |$$ um eine Einheit
  nach rechts verschoben.

• $$a<0$$
  Alle Funktionswerte $$y$$ werden um a erniedrigt.
  Beispiel: Bei der Funktion $$y = | x + 2 | = | x - (-2) |$$ ist $$a = -2$$.
  Der Graph der Funktion ist im Vergleich zu $$y = | x |$$ um zwei Einheiten nach links verschoben.

Die Spitze der Betragsfunktion $$y = f(x) = | x - a |$$ liegt im Punkt $$S(a|0)$$.

Verschiedene Graphen

Die Spitze von $$y = | x - 1 |$$ liegt im Punkt $$S(1|0)$$
und die von $$y = | x + 2 |$$ im Punkt $$S(-2|0)$$.

Mathematiker beschreiben diesen Sachverhalt in allgemeiner Form so:
$$ y= f(x) = |x  -   a| = {( x - a , für   x - a ge 0),(-(x-a), für   x-a < 0):} $$
Dies kannst du auch anders schreiben:
$$ y= f(x) = |x  -   a| = {( x - a , für   x ge a),(-x+a, für   x < a):} $$

Betragsfunktionen der Form $$y = f(x) = | x | + b$$

Du kannst den Graphen der Betragsfunktion nach oben oder unten verschieben. Dann lautet die Funktionsgleichung $$y = f(x) = | x | + b$$ mit $$D = RR$$.

Der Buchstabe b ist wieder ein Parameter. Du kannst alle möglichen Zahlen für b einsetzen.

• $$b > 0$$
  Alle Funktionswerte y werden um b erhöht.
  Beispiel: Bei der Funktion $$y = | x | + 2$$ ist $$b = 2$$.
  Der Graph dieser Funktion ist im Vergleich zu $$y = | x |$$ um zwei Einheiten nach oben verschoben.

• $$b < 0$$
  Alle Funktionswerte y werden um b erniedrigt.
  Beispiel: Bei der Funktion $$y = | x | - 1$$ ist $$b = -1$$.
  Der Graph dieser Funktion ist im Vergleich zu $$y = | x |$$ um eine Einheit nach unten verschoben.

Die Spitze der Betragsfunktion $$y = f(x) = | x | + b$$ liegt im Punkt $$S(0|b)$$.

Beispiele

Die Spitze von $$y = | x | + 2$$ liegt im Punkt $$S(0|2)$$
und die von $$y = | x | - 1$$ im Punkt $$S(0|-1)$$.

Auf für diesen Sachverhalt haben die Mathematiker eine allgemeine Schreibweise formuliert:
$$ y= f(x) = |x|  +   b = {( x + b , für   x ge 0),(-x+b, für   x < 0):} $$
Das Minimum bzw. die Spitze dieser Betragsfunktion liegt im Punkt $$S(0|b)$$.

Betragsfunktionen der Form $$y = f(x) = c * | x |$$

Du kannst den Graphen der Betragsfunktion auch strecken, stauchen und spiegeln. Dann lautet die Funktionsgleichung $$y = f(x) = c$$ $$*$$ $$| x |$$ mit $$D =RR$$.

Auch in diesem Fall ist der Buchstabe c wieder ein Parameter. Du kannst alle möglichen Zahlen für c einsetzen.

• $$c > 1$$
  Alle Funktionswerte y werden mit c multipliziert.
  Beispiel: Bei der Funktion $$y = 2| x |$$ ist $$c = 2$$.
  Der Graph dieser Funktion ist im Vergleich zu $$y = | x |$$ um den Faktor 2 in Richtung der y-Achse gestreckt. Der Graph ist nach oben geöffnet.

• $$0 < c < 1$$
  Alle Funktionswerte y werden mit c multipliziert.
  Die Graphen dieser Funktionen sind im Vergleich zu $$y = | x |$$ um den Faktor c in Richtung der y-Achse gestaucht. Der Graph ist nach oben geöffnet.

• $$c < 0$$
  Alle Funktionswerte y werden mit c multipliziert.
  Beispiel: Bei der Funktion $$y = - | x |$$ ist $$c = -1$$.
  Der Graph dieser Funktion ist im Vergleich zu $$y = | x |$$ an der x-Achse gespiegelt. Der Graph ist nach unten geöffnet.
  

Die Spitze der Betragsfunktion $$y = f(x) = c$$ $$*$$ $$| x |$$ liegt im Punkt $$S(0|0)$$.

Beispiele

Die Mathematiker schreiben für $$c > 0$$:
$$ y= f(x) = c * |x|  = {(  c*x , für   x ge 0),(- c*x, für   x < 0):} $$
Die Spitze liegt im Punkt $$S(0|0)$$. Der Graph ist nach oben geöffnet.

Für $$c < 0$$ schreiben sie:
$$ y= f(x) = c * |x|  = {(  - c*x , für   x ge 0),(  c*x, für   x < 0):} $$
Das Maximum - auch in diesem Fall Spitze genannt - dieser Betragsfunktion liegt im Punkt $$S(0|0)$$. Der Graph ist nach unten geöffnet.

Betragsfunktionen der Form $$y = f(x) = c$$ $$*$$ $$| x - a| + b$$

Eigenschaften dieser Funktion

Der Graph der Funktion

• ist um $$a$$ Einheiten in x-Richtung verschoben
• ist um $$b$$ Einheiten in y-Richtung verschoben
• ist um den Wert von $$c$$ in y-Richtung gestreckt oder gestaucht
• ist für $$c > 0$$ bzw. $$c < 0$$ nach oben bzw. nach unten geöffnet
• hat eine Spitze im Punkt $$S ( a | b )$$.

Beispiele

Der Graph der Funktion $$y = | x - 2 | + 1$$

• hat wegen $$a = 2$$ und $$b = 1$$ eine Spitze im Punkt $$( 2 | 1 )$$
• ist im Vergleich zu $$y = | x |$$ wegen $$c = 1$$ weder gestreckt noch gestaucht
• ist wegen $$c > 0$$ nach oben geöffnet.