Die Wurzelfunktion untersuchen
Die Quadratwurzelfunktion y=√x
Wurzeln kennst du schon. Dazu gibt es auch eine neue Funktionssorte! Auch das noch. Los geht’s:
Zu jeder Fläche x eines Quadrats gehört eine eindeutig bestimmte Seitenlänge y mit der Zuordnung: Fläche x → Seitenlänge y.
Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt: y2=x.
Also: Du berechnest die Seitenlänge aus dem Flächeninhalt mit y=√x.
Wertetabelle dieser Zuordnung:
x | 0 | 0,16 | 0,64 | 1 | 4 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|
y | 0 | 0,4 | 0,8 | 1 | 2 | 3 |
Die Wurzelfunktion
Funktionsgleichung : y=f(x)=√x
Definitionsbereich von f: ℝ≥0 (reelle Zahlen größer gleich 0)
Wertebereich von f: ℝ≥0
Bezeichnung: Quadratwurzelfunktion oder kurz Wurzelfunktion
Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion
Das Wurzelziehen ist ja die Umkehrung des Quadrierens. Die Quadratfunktion lautet y=f(x)=x2.
Wird der Definitionsbereich der Quadratfunktion y=f(x)=x2 auf den Bereich x≥0 eingeschränkt, gehört zu jedem y-Wert genau ein x-Wert. Damit besitzt die Funktion f eine Umkehrfunktion f-1.
Rechnerisches Bestimmen der Umkehrfunktion
1. Schritt: Auflösen von y = f(x) nach x:
x2=y=f(x)∣√
x=√y
2. Schritt: Vertauschen der Variablen:
y=√x
3. Schritt: Notieren der Umkehrfunktion:
f-1(x)=√x
Die Umkehrfunktion f-1 ist die Wurzelfunktion.
Der Graph der Wurzelfunktion geht durch Spiegelung der Quadratfunktion an der Geraden y=x hervor.
Die Quadratfunktion f(x)=x2 mit x≥0 und die Wurzelfunktion f-1(x)=√x sind zueinander Umkehrfunktionen.
Der Term unter der Wurzel heißt Radikand. Er darf nicht negativ werden.
Verschiebung der Wurzelfunktion I
Durch Ergänzung des Wurzelterms der Wurzelfunktion lassen sich weitere Funktionen bilden. Vergleiche die Wurzelfunktion mit der verschobenen Wurzelfunktion.
Beispiel 1:
Eigenschaften:
- Funktionsgleichung: y=√x+3
- Definitionsbereich: ℝ≥0
- Wertebereich: ℝ≥3
- Vertikale Verschiebung um 3 Einheiten nach oben
Beispiel 2:
Eigenschaften:
- Funktionsgleichung: y=√x-2
- Definitionsbereich: ℝ≥2
- Wertebereich: ℝ≥0
- Horizontale Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts
HORIZONTAL = WAAGERECHT= ←→
V S
E E
R N
T K ↑
I = R =
K E ↓
A C
L H
T
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Du kannst die Funktion auch in beide Richtungen verschieben.
Beispiel 3:
Eigenschaften:
- Funktionsgleichung: y=√x+1-2
- Definitionsbereich: ℝ≥-1
- Wertebereich: ℝ≥-2
- Vertikale Verschiebung um 2 Einheiten nach unten
- Horizontale Verschiebung um 1 Einheit nach links
Strecken oder Stauchen der Wurzelfunktion
Beispiel 1:
Eigenschaften:
- Funktionsgleichung: y=3√x-2-3
- Definitionsbereich: ℝ≥2
- Wertebereich: ℝ≥-3
- Vertikale Verschiebung um 3 Einheiten nach unten
- Horizontale Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts
- Streckung mit dem Faktor 3
Beispiel 2:
Eigenschaften:
- Funktionsgleichung: y=-0,5√x-1
- Definitionsbereich: ℝ≥1
- Wertebereich: ℝ≤0
- Vertikale Verschiebung um 0 Einheiten
- Horizontale Verschiebung um 1 Einheit nach rechts
- Stauchung mit dem Faktor 0,5
- Spiegelung an der x-Achse
Verallgemeinerung
Mithilfe der Parameter a, b und c in der Funktionsgleichung y=a√x-b+c kannst du die Wurzelfunktion y=√x verschieben und strecken bzw. stauchen.
Vertikale Streckung oder Stauchung um den Faktor a,
für a < 0 wird an der x-Achse gespiegelt
Horizontale Verschiebung um b Einheiten,
für b > 0 nach rechts und
für b < 0 nach links
Vertikale Verschiebung um c Einheiten,
für c < 0 nach unten und für c > 0 nach oben.
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