Umkehrfunktionen untersuchen
Was ist eine Umkehrfunktion?
Ein Liter Kraftstoff der Marke Super-Extra-Mega-Power kostet 2 €.
Familie Sparsam berechnet die Kosten und erstellt eine Tabelle für die ZuordnungBenzin in l → Kosten in €:
Benzin in l | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
---|---|---|---|---|---|---|
Kosten in € | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 |
Zu dieser Zuordnung gehört die Funktionsgleichung y = f(x) = 2x.
Aus dieser Tabelle kannst du einer bestimmen Menge Benzin eindeutig die Kosten ablesen.
Umgekehrt geht’s auch: Du kannst einer Rechnung in € eindeutig die getankte Menge Benzin in l zuordnen!
Eine Zuordnung mit dieser Eigenschaft wird als eindeutig umkehrbar bezeichnet.
Die entsprechende Funktion heißt dann Umkehrfunktion f-1.
Die Funktionen f und f-1 heißen auch zueinander invers.
Die Graphen von f und f-1
Das Beispiel mit der Zuordnung Benzin in l → Kosten in €
führte auf die Funktionsgleichung y = f(x) = 2x und die Wertetabelle:
Benzin in l | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
---|---|---|---|---|---|---|
Kosten in € | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 |
Es handelt sich um eine lineare Funktion. Der Graph sieht so aus:
Aus der Wertetabelle und dem Graphen folgt, dass z.B. 20 l Benzin 40 € kosten.
Umgekehrt folgt eine Umrechnungstabelle von Kosten in € in Benzin in l durch Vertauschen von Eingangs- und Ausgangsgröße der Zuordnung:
Kosten in € | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 |
---|---|---|---|---|---|---|
Benzin in l | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
Werden x- und y-Werte vertauscht, gehen die Punkte (10|20) bzw. (20|40) in die Punkte (20|10) bzw. (40|20) über.
Im Koordinatensystem ergibt das auch wieder eine Gerade. Sie geht durch Spiegelung des Graphen von f an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten hervor. Die Spiegelachse kannst du auch als Funktion angeben: f(x)=x.
Diese umgekehrte Zuordnung von f(x)=2x ist die Umkehrfunktion f-1(x)=12x.
Den Graphen von f-1 erhältst du, wenn du f an dem Graphen von y=f(x)=x spiegelst.
Gibt es zu jeder Funktion eine Umkehrfunktion?
Linke Abbildung: Einer Zahl auf der y-Achse sind in diesem Beispiel drei Zahlen auf der x-Achse zugeordnet.
x | 0 | 0,15 | 1 | 1,40 | 2 | 2,45 | 3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
y | 2 | 2,5 | 3 | 2,5 | 2 | 2,5 | 5 |
Diese Funktion ist nicht umkehrbar.
Rechte Abbildung: Jeder Zahl auf der y-Achse ist genau eine Zahl auf der x-Achse zugeordnet.
x | 0 | 1 | 1,42 | 2 |
---|---|---|---|---|
y | 0 | 2 | 2,5 | 4 |
Diese Funktion ist umkehrbar.
Eine Funktion ist genau dann eindeutig umkehrbar, wenn jede Horizontale den Graphen einer Funktion nur in einem Punkt schneidet (Horizontalen-Test).
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Rechnerische Bestimmung von f-1
Beispiel: y=f(x)=2x
1. Schritt: Auflösen von y = f(x) nach x:
2x=y=f(x)∣:2
x=y2
2. Schritt: Vertauschen der Variablen:
y=x2
3. Schritt: Notieren der Umkehrfunktion:
f-1(x)=x2
Die hier angegebene Schrittfolge gilt allgemein für umkehrbare Funktionen.
Untersuchen von y=f(x)=0,5x-0,5
Bilden der Umkehrfunktion
1. Schritt: Auflösen von y = f(x) nach x:
0,5x-0,5=y=f(x)∣+0,5
0,5x=y+0,5∣⋅2
x=2y+1
2. Schritt: Vertauschung der Variablen:
y=2x+1
3. Schritt: Notieren der Umkehrfunktion:
f-1(x)=2x+1
Graphen von f(x) und f-1(x)
Untersuchen von y=f(x)=0,5x-0,5
Funktionswerte von f und f-1
Die Wertetabellen von f(x)=0,5x-0,5 und f-1(x)=2x+1 lauten:
x | f(x) |
---|---|
x | f-1(x) |
---|---|
Aus den Wertetabellen kannst du ablesen: für x=5 folgt f(5)=2.
Damit folgt: f-1(2)=5 sowie durch schrittweises Einsetzen:
f(f-1(2))=2 und f-1(f(5))=5.
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Eigenschaften von Funktion f und Umkehrfunktion f-1
Eine Zuordnung, bei der jedem Wert x aus dem Definitionsbereich D genau ein Wert y aus dem Wertebereich W zugeordnet wird, ist eine Funktion.
Soll umgekehrt jedem y-Wert der zugehörige x-Wert zugeordnet werden, muss die Umkehrfunktion gebildet werden.
- Eine Funktion f, die eine Umkehrfunktion f-1 besitzt, ist eine umkehrbare Funktion.
- Eine umkehrbare Funktion ist eine eindeutige Funktion.
- Die Funktionen f und f-1 werden auch als zueinander invers bezeichnet.
- Die Wertetabelle von f-1 folgt aus der von f durch Vertauschung von Eingangs- und Ausgangsgröße.
- Wenn für eine Funktion f die Umkehrfunktion f-1 existiert, gilt f(f-1(x))=f-1(f(x))=x.
- Der Graph von f-1 folgt aus dem von f durch Spiegelung an der Geraden y = x.
- Wird der Graph einer Funktion f von jeder Horizontalen nur in einem Punkt geschnitten, so besitzt f eine Umkehrfunktion f-1.
- Die Funktionsgleichung von f-1 folgt aus der von f durch Vertauschung von x und y in f(x) und Auflösung der entstehenden Gleichung nach y.
f | f-1 | |
---|---|---|
Funktionsgleichung | y = f(x) | x = f-1(y) |
Definitionsbereich D | x-Werte | y-Werte |
Wertebereich W | y-Werte | x-Werte |
Wertepaare | ( x | y ) | ( y | x ) |
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