Umkehrfunktionen untersuchen

Was ist eine Umkehrfunktion?

Ein Liter Kraftstoff der Marke Super-Extra-Mega-Power kostet 2 €.
Familie Sparsam berechnet die Kosten und erstellt eine Tabelle für die ZuordnungBenzin in l Kosten in €:

Benzin in l 0 10 20 30 40 50
Kosten in € 0 20 40 60 80 100

Zu dieser Zuordnung gehört die Funktionsgleichung y = f(x) = 2x.

Aus dieser Tabelle kannst du einer bestimmen Menge Benzin eindeutig die Kosten ablesen.
Umgekehrt geht’s auch: Du kannst einer Rechnung in € eindeutig die getankte Menge Benzin in l zuordnen!

Eine Zuordnung mit dieser Eigenschaft wird als eindeutig umkehrbar bezeichnet.
Die entsprechende Funktion heißt dann Umkehrfunktion f-1.
Die Funktionen f und f-1 heißen auch zueinander invers.

Die Graphen von f und f-1

Das Beispiel mit der Zuordnung Benzin in l Kosten in €
führte auf die Funktionsgleichung y = f(x) = 2x und die Wertetabelle:

Benzin in l 0 10 20 30 40 50
Kosten in € 0 20 40 60 80 100

Es handelt sich um eine lineare Funktion. Der Graph sieht so aus:

Umkehrfunktionen untersuchen

Aus der Wertetabelle und dem Graphen folgt, dass z.B. 20 l Benzin 40 € kosten.

Umgekehrt folgt eine Umrechnungstabelle von Kosten in € in Benzin in l durch Vertauschen von Eingangs- und Ausgangsgröße der Zuordnung:

Kosten in € 0 20 4060 80 100
Benzin in l 0 10 20 30 40 50

Werden x- und y-Werte vertauscht, gehen die Punkte (10|20) bzw. (20|40) in die Punkte (20|10) bzw. (40|20) über.
Im Koordinatensystem ergibt das auch wieder eine Gerade. Sie geht durch Spiegelung des Graphen von f an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten hervor. Die Spiegelachse kannst du auch als Funktion angeben: f(x)=x.
Diese umgekehrte Zuordnung von f(x)=2x ist die Umkehrfunktion f-1(x)=12x.

Umkehrfunktionen untersuchen

Den Graphen von f-1 erhältst du, wenn du f an dem Graphen von y=f(x)=x spiegelst.

Gibt es zu jeder Funktion eine Umkehrfunktion?

Umkehrfunktionen untersuchen

Linke Abbildung: Einer Zahl auf der y-Achse sind in diesem Beispiel drei Zahlen auf der x-Achse zugeordnet.

x 0 0,15 1 1,40 2 2,45 3
y 2 2,5 3 2,5 2 2,5 5

Diese Funktion ist nicht umkehrbar.

Rechte Abbildung: Jeder Zahl auf der y-Achse ist genau eine Zahl auf der x-Achse zugeordnet.

x 0 1 1,42 2
y 0 2 2,5 4

Diese Funktion ist umkehrbar.

Eine Funktion ist genau dann eindeutig umkehrbar, wenn jede Horizontale den Graphen einer Funktion nur in einem Punkt schneidet (Horizontalen-Test).

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Rechnerische Bestimmung von f-1

Beispiel: y=f(x)=2x

1. Schritt: Auflösen von y = f(x) nach x:

2x=y=f(x):2

x=y2

2. Schritt: Vertauschen der Variablen:

y=x2

3. Schritt: Notieren der Umkehrfunktion:

f-1(x)=x2

Die hier angegebene Schrittfolge gilt allgemein für umkehrbare Funktionen.

Untersuchen von y=f(x)=0,5x-0,5

Bilden der Umkehrfunktion

1. Schritt: Auflösen von y = f(x) nach x:

0,5x-0,5=y=f(x)+0,5

0,5x=y+0,52

x=2y+1

2. Schritt: Vertauschung der Variablen:

y=2x+1

3. Schritt: Notieren der Umkehrfunktion:

f-1(x)=2x+1

Graphen von f(x) und f-1(x)

Umkehrfunktionen untersuchen

Untersuchen von y=f(x)=0,5x-0,5

Funktionswerte von f und f-1

Die Wertetabellen von f(x)=0,5x-0,5 und f-1(x)=2x+1 lauten:

xf(x)
-1
-1
0
-0,5
1
0
2
0,5
5
2
xf-1(x)
-1
-1
-0,5
0
0
1
0,5
2
2
5











Aus den Wertetabellen kannst du ablesen: für x=5 folgt f(5)=2.
Damit folgt: f-1(2)=5 sowie durch schrittweises Einsetzen:
f(f-1(2))=2 und f-1(f(5))=5.

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Eigenschaften von Funktion f und Umkehrfunktion f-1

Eine Zuordnung, bei der jedem Wert x aus dem Definitionsbereich D genau ein Wert y aus dem Wertebereich W zugeordnet wird, ist eine Funktion.
Soll umgekehrt jedem y-Wert der zugehörige x-Wert zugeordnet werden, muss die Umkehrfunktion gebildet werden.

  • Eine Funktion f, die eine Umkehrfunktion f-1 besitzt, ist eine umkehrbare Funktion.
  • Eine umkehrbare Funktion ist eine eindeutige Funktion.
  • Die Funktionen f und f-1 werden auch als zueinander invers bezeichnet.
  • Die Wertetabelle von f-1 folgt aus der von f durch Vertauschung von Eingangs- und Ausgangsgröße.
  • Wenn für eine Funktion f die Umkehrfunktion f-1 existiert, gilt f(f-1(x))=f-1(f(x))=x.
  • Der Graph von f-1 folgt aus dem von f durch Spiegelung an der Geraden y = x.
  • Wird der Graph einer Funktion f von jeder Horizontalen nur in einem Punkt geschnitten, so besitzt f eine Umkehrfunktion f-1.
  • Die Funktionsgleichung von f-1 folgt aus der von f durch Vertauschung von x und y in f(x) und Auflösung der entstehenden Gleichung nach y.
f f-1
Funktionsgleichung y = f(x) x = f-1(y)
Definitionsbereich D x-Werte y-Werte
Wertebereich W y-Werte x-Werte
Wertepaare ( x | y ) ( y | x )




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