Sinus- und Kosinusfunktion unter der Lupe

Mit Funktionen hantierst du schon ziemlich lange: Definitionsbereich, Nullstellen, Funktionswerte, … und auch Sinus- und Kosinusfunktionen im Einheitskreis und im rechtwinkligen Dreieck kennst du schon.

Jetzt lernst du mehr über Definitionsbereich und Nullstellen von Sinus und Kosinus. :-) Weil die Funktionen periodisch sind, sieht’s hier ein bisschen anders aus.

Hier kommen die Sinus- und die Kosinusfunktion mit den Winkelgrößen an der x-Achse:

Die Winkelgrößen kannst du dir zwar gut vorstellen, aber zum Rechnen und Untersuchen der Funktion ist das Bogenmaß praktischer. Das sieht dann so aus:

Definitionsbereich und Wertebereich kannst du gut ablesen.
Für x kannst du alle Zahlen einsetzen, also $$D=RR$$.
Die y-Werte liegen zwischen $$-1$$ und $$1$$, also
$$W={y in RR$$ und $$-1 le y le 1 }$$.

Nullstellen

Sinusfunktion

Nullstellen waren bisher immer sehr übersichtlich: Eine Funktion hatte entweder gar keine Nullstelle oder eine oder zwei.

Und hier? Gibt es unendlich viele Nullstellen!
Die Funktion ist ja periodisch und geht unendlich nach links und rechts weiter.

Als Nullstellen kannst du hier ablesen:

$$x_1=-2pi$$
$$x_2=-pi$$
$$x_3=0$$
$$x_4=pi$$
$$x_5=2pi$$
$$x_6=3pi$$

Wie kannst du das für alle Nullstellen der Sinusfunktion verallgemeinern?

In Worten: alle Vielfachen von $$pi$$
Als Formel: $$k*pi$$ mit $$k in ZZ$$

Das heißt: $$sin(k*pi)=0$$ für $$k in ZZ$$

Und die Kosinusfunktion?

Das geht so ähnlich:

Lies ab:
$$x_1=-3/2pi$$ $$x_2=-pi/2$$ $$x_3=pi/2$$
$$x_4=3/2pi$$ $$x_5=5/2pi$$

Allgemein:
In Worten: zu $$pi/2$$ Vielfache von $$pi$$ addieren
Als Formel: $$pi/2+k*pi$$ mit $$k in ZZ$$

Das heißt: $$cos(pi/2+k*pi)=0$$ für $$k in ZZ$$

Hoch- und Tiefpunkte

Bei den Funktionen, die du bisher kennengelernt hast, gab es einen Hoch- oder Tiefpunkt, wenn überhaupt.
Beim Hochpunkt nimmt die Funktion den größten Funktionswert an und beim Tiefpunkt den kleinsten.*

Bei der Sinusfunktion gibt es unendlich viele Hochpunkte. Der größte Funktionswert ist 1.
Es gibt unendlich viele Tiefpunkte, der kleinste Funktionswert ist -1.

Die Hochpunkte haben die Koordinaten
$$(pi/2+2pi*k  | 1)$$ für $$k in ZZ$$.
Die Tiefpunkte haben die Koordinaten
$$(-pi/2+2pi*k  | -1)$$ für $$k in ZZ$$.

Weiter mit Kosinus

Die Hochpunkte haben die Koordinaten $$(2pi*k  | 1)$$ für $$k in ZZ$$.
Die Tiefpunkte haben die Koordinaten $$(pi+2pi*k  | -1)$$ für $$k in ZZ$$.

*Wenn du’s ganz genau wissen willst:

Mathematisch ist das nicht ganz richtig. Es gibt Funktionen (die du noch nicht kennst), deren Funktionsgraphen haben Hoch- und Tiefpunkte (diese Hügel oder Täler im Graphen) und haben auch unendlich große bzw. kleine Funktionswerte. (Spannend, hm? Guck dir mal $$f(x)= x^3+3x^2-2$$ an.)
Ganz korrekt müsste es hier heißen: Beim Hochpunkt nimmt die Funktion in einer bestimmten Umgebung den größten Funktionswert an und beim Tiefpunkt den kleinsten.

Zur Erinnerung 2 Parabeln:

Der Hochpunkt ist hier (-3,25|2) und der Tiefpunkt (3,5|0,5)

Symmetrie beim Sinus

Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Stelle dir vor, wie du den rechten Arm des Graphen um (0|0) drehst.

Für die Funktionswerte bedeutet die Punktsymmetrie:

In Worten: $$sin(-x)$$ ist $$sin x$$ mit umgedrehtem Vorzeichen.
Als Formel: $$sin(-x)=-sin x$$

Beispiel:
$$sin (pi/4)=0,71$$
$$sin (-pi/4)=-0,71$$

Symmetrie beim Kosinus

Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch.

Für die Funktionswerte bedeutet die Achsensymmetrie:

In Worten: Ein x-Wert und der negative x-Wert haben denselben Kosinuswert.
Als Formel: $$cos(-x)=cos x$$

Beispiel:
$$cos (3/8pi)=0,38$$
$$cos (-3/8pi)=0,38$$

Sinus- und Kosinusfunktion kurz und knapp