Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion 2

Sinus und Kosinus „anpassen“

Du kennst nun die Sinus- und die Kosinusfunktion mit f(x)=sinx und g(x)=cosx.

Wenn du „echte“ periodische Vorgänge aus der Realität mit der Sinus- oder Kosinusfunktion beschreiben willst, wird der Graph nicht so gut passen. Du müsstest zum Beispiel Periode oder Amplitude verändern können.

Das geht mit Parametern.

Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion 2

Sinus und Kosinus stauchen und strecken

Was passiert, wenn du alle Funktionswerte der Sinusfunktion mit einer Zahl multiplizierst?

Mathematisch: Nimm die Funktion f(x)=asin(x) und setze unterschiedliche Werte für a ein. Das sieht dann so aus:


Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion 2


  • Der Parameter a staucht oder streckt die Kurve in y-Richtung.
  • Wenn a zwischen -1 und +1 liegt, ist die Sinusfunktion gestaucht.
  • Wenn a größer als 1 oder kleiner als -1 ist, ist die Sinusfunktion gestreckt.
  • Wenn a kleiner als 0 ist, wird die Sinusfunktion an der x-Achse gespiegelt.
  • Der Parameter a verändert die Amplitude der Funktion. Die Amplitude ist so groß wie a. (Aber mit positivem Vorzeichen +.)


Für g(x)=acosx funktioniert die Stauchung oder Streckung ganz genauso.

Stauchen und Strecken in x-Richtung

Du kannst auch probieren, was passiert, wenn du die x-Werte erst mit einer Zahl multiplizierst und dann den Sinus bildest.
Die Funktion heißt dann f(x)=sin(bx). So sieht die Funktion für verschiedene b aus:


Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion 2


  • Der Parameter b staucht oder streckt die Sinusfunktion in x-Richtung.
  • Wenn b zwischen -1 und +1 liegt, ist die Sinusfunktion gestreckt.
  • Wenn b größer als 1 oder kleiner als -1 ist, wird die Funktion gestaucht.
  • Wenn b kleiner als 0 ist, wird die Sinusfunktion an der y-Achse gespiegelt.
  • Der Parameter b verändert die Periodenlänge. b gibt an, wie viel mal schneller die Schwankung stattfindet.


Für g(x)=cos(bx) funktioniert die Stauchung oder Streckung ganz genauso.

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Kannst du eine Funktion mit a und b bauen? Klar.:-)

Beispiel:
Eine Kurve soll um 4 m um einen Mittelwert schwanken und dreimal so schnell ablaufen wie die normale Sinusschwankung. Dann heißt die Funktionsgleichung f(x)=4sin(3x).

a=4 bewirkt, dass die Sinusfunktion zwischen -4 und 4 schwankt.
b=3 bewirkt, dass die Schwankung dreimal so schnell abläuft. Wo die ursprüngliche schwarze Kurve einen Berg hat, schwankt die gestauchte blaue Kurve nun dreimal.

Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion 2

Wenn du beide Parameter gleichzeitig in die Gleichung schreibst, lautet sie f(x)=asin(bx).





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