Ähnlichkeit

Ähnlichkeit ist eines der mathematischen Teilgebiete, die du täglich nutzt. Immer wenn du auf einen Bildschirm guckst, wendet dein Gehirn automatisch das Prinzip der Ähnlichkeit an.

Ein Bildschirm gibt Menschen und Gegenstände verkleinert wieder. Dennoch erkennst du sie sofort. Dein Gehirn vergleicht das Dargestellte mit der Wirklichkeit.
Das Gehirn erkennt Ähnlichkeit sogar, wenn du die Personen, die du auf Bildschirmen siehst, noch nie in der Realität gesehen hast. Und das funktioniert sogar an verschieden großen Bildschirmen.

Wieso ist das so?
Beim Vergrößern oder Verkleinern ändert sich die Form nicht. Verkleinerte und vergrößerte Bilder heißen ähnlich zueinander.

Bild: M. Meyer

Maßstab

Der Maßstab gibt eine Vergrößerung oder eine Verkleinerung an.

Beispiel:
Eine Karte ist im Maßstab 1:1000 dargestellt.
Das bedeutet: 1 cm auf dem Bild entsprechen 1000 cm in der Wirklichkeit. Eine Strecke, die in Wirklichkeit 10 m (1000 cm) lang ist, ist auf der Karte 1 cm lang.

Der Maßstab gibt das gleiche Verhältnis an, in dem die Strecken verändert wurden. Allerdings verändert der Maßstab keine Winkel. Straßen knicken auf einer Karte in demselben Winkel ab wie in der Realität.

Auch eine Internetseite mit einer Onlinekarte nutzt die Ähnlichkeit und den Maßstab. Hier kannst du Straßen heranzoomen und die Umgebung vergrößert oder verkleinert darstellen lassen.

Bild: Google Maps

Ähnlichkeit in der Sprache

Die mathematische Ähnlichkeit unterscheidet sich von dem sprachlichen Gebrauch. Du sagst zum Beispiel, dass diese Bananen ähnlich sind.

Das sagst du, weil es sich bei allen abgebildeten Objekten um Bananen handelt. Mathematisch gesehen sind die Bananen nicht ähnlich, denn sie haben eine unterschiedliche Krümmung. Das heißt, die Winkel haben sich verändert. Also liegt keine mathematische Ähnlichkeit vor.

Auch Zwillinge sind mathematisch gesehen nicht ähnlich, weil sie Unterschiede aufweisen. In der Sprache sagst du aber: „Ihr seht euch aber ähnlich.“

Bild: mauritius images GmbH (age)

Ähnlichkeit in der Mathematik

In zueinander ähnlichen Figuren sind die entsprechenden Winkel gleich groß. Die Längenverhältnisse entsprechender Seiten sind gleich.

Die Lage der Figuren ist dabei unwichtig. Am einfachsten ist die mathematische Ähnlichkeit bei Figuren in derselben Lage zu erkennen. In derselben Lage siehst du am besten die „sich entsprechenden“ Seiten, zum Beispiel die 2 Grundseiten.
Aber auch gedrehte und gespiegelte Figuren sind ähnlich zueinander.

Diese Figuren sind ähnlich zueinander.

Du kannst die Figuren übereinander legen. Dann siehst du noch besser, dass alle Winkel identisch sind und sich nur das Längenverhältnis der Strecken verändert hat.

Prüfen auf Ähnlichkeit

Du prüfst 2 Figuren auf Ähnlichkeit, indem

• du die entsprechenden Winkel vergleichst und
• die Längenverhältnisse entsprechender Strecken berechnest.

Wie geht das mit den Längenverhältnissen? Dividiere die Längen der einen Figur durch die Längen der anderen Figur.

Beispiel 1:

Nach Augenmaß würdest du sicherlich sagen, dass die Dreiecke ähnlich zueinander sind. Vergleichst du allerdings die Seitenlängen, kommt eine Abweichung heraus.

Prüfe:
$$c/(c’) stackrel(?)= a/(a’) stackrel(?)= b/(b’)$$

$$c/(c’)=3,6/5,1 approx 0,71$$ (gerundet auf 2 Nachkommastellen)

$$a/(a’)=3,6/5 approx 0,72$$ (gerundet auf 2 Nachkommastellen)

Du prüfst nicht auch noch $$b$$ und $$b’$$, da die anderen Seitenverhältnisse schon nicht stimmen. Auch die Winkel brauchst du nicht noch zu bestimmen, weil die Figuren sowieso nicht ähnlich sind.

Prüfen auf Ähnlichkeit

Beispiel 2:

Prüfe:
$$a/(a’) stackrel(?)= b/(b’) stackrel(?)= c/(c’) stackrel(?)= d/(d’) stackrel(?)= e/(e’) stackrel(?)= f/(f’)$$

$$a/(a’)=7,5/5=1,5$$ $$e/(e’)=4,5/3=1,5$$

$$b/(b’)=1,5/1=1,5=d/(d’)$$

$$c/(c’)=3/2=1,5=f/(f’)$$

Du siehst, überall kommt dasselbe Seitenverhältnis heraus. Das heißt, die zwei Figuren sind zueinander ähnlich.

Kongruenz und Ähnlichkeit

Kongruenz ist eine Sonderform der Ähnlichkeit.

Jede Seite wird dabei auf eine gleichlange Seite abgebildet.

Das Längenverhältnis für alle Seiten hat also den Wert 1 und wird auch Ähnlichkeitsfaktor genannt.