Strecken in Flächen und Körpern mit dem Pythagoras berechnen
Einleitung und Wiederholung
Du lernst in diesem Kapitel, wie du den Satz des Pythagoras in Flächen und Körpern anwenden kannst. Es geht häufig darum, eine Höhe auszurechnen. Wenn du die Höhe kennst, kannst du den Flächeninhalt oder das Volumen (Rauminhalt) berechnen.
Das Wichtigste ist, das rechtwinklige Dreieck zu sehen. Das Ausrechnen einer fehlenden Seite hast du schon gelernt.
Diese Formeln brauchst du:
Zum Berechnen der Hypotenuse $$c$$ (längste Seite im rechtwinkligen Dreieck - dem rechten Winkel gegenüber):
$$c^2=a^2+b^2$$Zur Berechnung einer Kathete $$a$$ oder $$b$$ (die kürzeren Seiten im rechtwinkligen Dreieck - anliegend am rechten Winkel):
$$a^2 = c^2 - b^2$$ oder $$b^2 = c^2 - a^2$$
Bild: stock.adobe.com/Chan, Richie
Bei der Kathetenberechnung ist es nicht egal, wie du die Formel aufschreibst. Du ziehst immer den Flächeninhalt der Kathete von dem Flächeninhalt der Hypotenuse ab. Solltest du die Zahlen falsch notieren, würdest du eine negative Zahl herausbekommen. Aus dieser lässt sich nicht die Wurzel ziehen.
Das rechtwinklige Dreieck in Flächen
Quadrat und Rechteck
Du kannst den Pythagorassatz anwenden, um die Länge der roten Diagonalen zu berechnen. Die Diagonale verbindet gegenüberliegende Eckpunkte und lässt zwei rechtwinklige Dreiecke entstehen.
Du benötigst diese Rechnung für Aufgaben wie: „Welche Breite darf die Tischplatte höchstens haben, um noch durch das Fenster zu passen?“
Beispiel:
Wie lang ist die Diagonale im Quadrat mit der Seitenlänge $$6$$ $$cm$$?
$$e^2=a^2+a^2$$
$$e^2=6^2+6^2$$
$$e^2=36+36$$
$$e^2=72$$ $$|sqrt( )$$
$$e approx 8,5$$ $$cm$$
Das rechtwinklige Dreieck in Flächen
Das Dreieck
In einem Dreieck kannst du die Höhe einzeichnen. Sie steht senkrecht auf einer Dreiecksseite und geht durch die gegenüberliegende Spitze. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck (eigentlich sogar zwei), in dem du den Satz des Pythagoras anwenden kannst. Kennst du die Länge der Höhe, kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen.
Beispiel:
Berechne die Höhe des gleichseitigen Dreiecks mit $$a=10$$ $$cm$$.
$$h^2=a^2-(a/2)^2$$
$$h^2=10^2-5^2$$
$$h^2=100-25$$
$$h approx 8,7$$ $$cm$$
Das rechtwinklige Dreieck in Flächen
Trapez
Auch im Trapez kannst du den Flächeninhalt bestimmen, wenn du die Höhe mithilfe des Satzes des Pythagoras ausgerechnet hast. Das geht hier allerdings nicht generell, sondern nur, wenn du die richtigen Längen vorgegeben hast.
Bei Dreieck, Raute, Drache und Trapez werden meistens bestimmte Werte vorgegeben und du sollst dann gesuchte Werte berechnen.
Beispiel: Höhe im Trapez
Berechne die Höhe im gleichschenkligen Trapez. Entnimm die Maße der Zeichnung.
$$h^2=4^2-2^2$$
$$h^2=16-4$$
$$h^2=12$$ $$|sqrt( )$$
$$h approx 3,5$$ $$cm$$
Raute und Drache
In der Raute oder dem Drachen bilden die Diagonalen rechte Winkel.
Das rechtwinklige Dreieck in Flächen
Das regelmäßige Sechseck.
Im regelmäßigen Sechseck kannst du die Höhe mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen. Dann kannst du auch hier den Flächeninhalt bestimmen. Du rechnest aber erst nur den Flächeninhalt für ein gleichseitiges Dreieck aus. Das Ergebnis nimmst du $$*6$$.
Beispiel: Sechsecksfläche:
Berechne den Flächeninhalt dieses Sechsecks. Die Seitenlänge beträgt jeweils $$8$$ $$cm$$.
$$h^2=8^2-4^2$$
$$h^2=64-16$$
$$h^2=48$$ $$|sqrt( )$$
$$h approx = 6,9$$ $$cm$$
$$A_(Dreieck) = (g*h)/2 = (8*6,9)/2 = (4*6,9)/1 = 27,6$$ $$cm^2$$
$$A_(Sechse ck)=6*A_(Dreieck)=6*27,6=165,6$$ $$cm^2$$
Der Satz des Pythagoras in Körpern
Auch hier geht es als erstes darum, das rechtwinklige Dreieck zu sehen.
Quader und Würfel
Um die Raumdiagonale im Würfel zu berechnen, sind 2 Rechnungen nötig. Erst berechnest du die Flächendiagonale und dann mit diesem Wert die Raumdiagonale.
Das ist im Quader genauso. Berechne zuerst die Flächendiagonale und dann die Raumdiagonale.
Beispiel: Raumdiagonale im Würfel:
Berechne die Raumdiagonale des Würfels mit der Kantenlänge $$a=7$$ $$cm$$.
1. Flächendiagonale
$$e^2=a^2+a^2$$
$$e^2=7^2+7^2$$
$$e^2=49+49$$
$$e^2=98$$ $$|sqrt( )$$
$$e approx 9,9$$ $$cm$$
2. Raumdiagonale
$$d^2=a^2+e^2$$
$$d^2=7^2+9,9^2$$
$$d^2=49+98,01$$
$$d^2=147,01$$ $$|sqrt( )$$
$$d approx 12,1$$ $$cm$$
Der Satz des Pythagoras in Körpern
Raumdiagonale im Zylinder
Du berechnest die Raumdiagonale im Zylinder mithilfe des Durchmessers $$d$$ und der Körperhöhe $$h_k$$.
Du benötigst diese 3 Raumdiagonalen, um Aufgaben zu lösen wie: „Wie lang muss der Trinkhalm mindestens sein, damit er nicht in der Dose / Verpackung verschwindet?“
Pyramide
In Pyramide und Kegel kannst du die Körperhöhe $$h_k$$ mithilfe des Satzes des Pythagoras bestimmen. Du benötigst sie, um das Volumen zu berechnen.
In der Pyramide siehst du aber noch das rechtwinklige Dreieck, das durch das Einzeichnen einer Seitenhöhe $$h_s$$ entsteht. Diese Höhe benötigst du für die Oberflächenberechnung der Pyramide.
Der Satz des Pythagoras in Körpern
Im Kegel benötigst du die Körperhöhe, um das Volumen zu berechnen. Das rechtwinklige Dreieck entsteht mit den Seiten $$r$$, $$s$$ und $$h_k$$.
Beispiel: $$h_k$$ im Kegel:
Berechne die Körperhöhe im Kegel. Der Radius ist $$4$$ $$cm$$ und die Strecke $$s$$ ist doppelt so lang wie der Durchmesser.
$$h_k^2 = s^2-r^2$$
$$h_k^2 = 16^2-4^2$$
$$h_k^2= 256-16$$
$$h_k^2= 240$$ $$|sqrt( )$$
$$h_k approx 15,5$$ $$cm$$
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