Der Satz des Pythagoras in Worten

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du Aussagen bezüglich der Seitenlängen und der Quadrate über den Seiten rechtwinkliger Dreiecke treffen.

Begriffe in rechtwinkligen Dreiecken:

Die Hypotenuse ist die längste Seite des Dreiecks, sie liegt dem 90°-Winkel gegenüber.
Die Katheten sind die kürzeren Seiten, die nicht dem 90°-Winkel gegenüber liegen.

Der Satz des Pythagoras besagt:

Der Satz des Pythagoras mit Variablen

So lässt sich der Satz des Pythagoras mit Variablen beschreiben:

Liegt der $$90°$$-Winkel bei $$C$$, dann gilt: $$c^2=a^2+b^2$$.

Mit dem Pythagoras rechnen

Der Satz eignet sich zum Berechnen von Seitenlängen.

Beispiel:

Berechne mit dem Satz des Pythagoras die Länger der Seite $$c$$.

So gehst du vor:

1. Darfst du den Satz verwenden?

Ja, das Dreieck hat einen $$90°$$-Winkel.

2. Wo liegt der rechte Winkel? Welche Formel nimmst du?

Der $$90°$$-Winkel liegt bei $$C$$. Dann heißt die Formel: $$c^2=a^2+b^2$$

3. Setze die Zahlen ein.

$$c^2=(6$$ $$cm)^2+(4$$ $$cm)^2$$

4. Stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um und berechne.

$$c^2=(6$$ $$cm)^2+(4$$ $$cm)^2 = 52$$ $$cm^2$$   $$|$$ Wurzel ziehen

$$c= sqrt(52 cm^2) approx 7,2$$ $$cm$$

Oder erst umstellen und dann Zahlen einsetzen:

$$c^2=a^2+b^2$$   $$|$$ Wurzel ziehen

$$c= sqrt(a^2+b^2) = sqrt((6 cm)^2 + (4 cm)^2) approx 7,2$$ $$cm$$

Anwendung in Dreiecken mit anderen Bezeichnungen

Manchmal sind die Dreiecke nicht mit den Buchstaben $$a$$, $$b$$, $$c$$ bezeichnet. Dann suchst du die Hypotenuse und formulierst danach die Gleichung.

Beispiel 1:

Der $$90°$$-Winkel liegt $$t$$ gegenüber, $$t$$ ist also die Hypotenuse. Die Gleichung lautet $$t^2=s^2+u^2$$.

Beispiel 2:

Der $$90°$$-Winkel liegt $$t$$ gegenüber, $$t$$ ist also die Hypotenuse. Die Gleichung lautet $$t^2=s^2+u^2$$. Dann formst du die Gleichungen nach der gesuchten Größe um.

Rechenbeispiel

Es wurde im Abstand von $$250$$ $$m$$ von einem Turm ein $$255$$ $$m$$-langes Seil gespannt. Wie hoch ist der Turm?

1. Darfst du den Satz verwenden?

Ja, der Turm steht ja senkrecht auf der Erde.

2. Wo liegt der rechte Winkel? Welche Formel nimmst du?

$$h$$ und $$e$$ schließen einen rechten Winkel ein.
Dann heißt die Formel: $$l^2=e^2+h^2$$

$$e=250$$ $$m$$, $$l=255$$ $$m$$, $$l$$ ist die Hypotenuse.
Gesucht ist $$h$$.

3. Setze die Zahlen ein.

$$(255$$ $$m)^2 = (250$$ $$m)^2 +$$ $$h^2$$

4. Stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um und berechne.

$$(255$$ $$m)^2=(250$$ $$m)^2 +$$ $$h^2$$   $$| -(250$$ $$m)^2$$

$$(255   m)^2 - (250   m)^2 = 2525$$ $$m^2 =$$ $$h^2$$   $$| sqrt( )$$

$$h= sqrt(2525 m^2) approx 50,25$$ $$m$$

Der Turm ist $$50,25$$ $$m$$ hoch.

Oder erst umstellen und dann Zahlen einsetzen:

$$l^2=e^2+h^2$$   $$| -e^2$$ dann $$| sqrt( )$$

$$h= sqrt(l^2-e^2)= sqrt((255 m)^2 - (250 m)^2)$$

$$h approx 50,25$$ $$m$$