Arten von Pyramiden

Faszinieren dich auch die Pyramiden aus dem alten Ägypten?

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In Pyramiden steckt jede Menge Mathematik. Es gibt verschiedene Arten von Pyramiden:

Die Grundfläche (blau gefärbt) einer Pyramide gibt ihr den Namen.

Pyramide - Begriffe und Eigenschaften

Zum Berechnen von Pyramiden benötigst du einige Begriffe, die du hier kennen lernst.

Vom Netz zur Oberfläche

Wie ein Netz entsteht und wie die Oberfläche einer quadratischen Pyramide berechnet wird, siehst du hier.

So berechnest du eine quadratische Pyramide.

Beispiel

gegeben:
$$a = 5$$ $$cm$$
$$h_s$$ $$= 8$$ $$cm$$

Rechnung:
$$ O =$$ Grundfläche $$+$$ Mantel
$$ O =$$   $$a^2$$    $$+$$ $$2* a *h_s$$
$$ O =$$    $$5^2$$    $$+ 2 * 5 * 8$$
$$ O = 105$$ $$cm^2$$

Berechnung der Seitenhöhe $$h_s$$ einer quadratischen Pyramide.

gegeben:   $$ O = 504$$ $$mm^2$$
          $$ a = 12$$ $$ mm$$

Rechnung:

$$1.$$ Den Mantel der Pyramide bestimmen.

Die Grundfläche ($$G = a^2 = 12^2 = 144$$ $$mm^2$$) kannst du von der Oberfläche abziehen und rechnest dann nur noch mit dem Mantel.

  $$M = O$$ $$– G = 504 – 144 =360$$ $$ mm^2$$

$$2.$$ Die Mantelformel nun nach $$h_s$$ umstellen.

  $$ M = 2 · a · h_s$$     $$ | : (2 · a) $$
  $$M/(2 · a) =h_s$$

$$3.$$ Jetzt die Werte in die Formel einsetzen und du hast die Seitenhöhe berechnet.

  $$h_s = M/(2 · a) = 360/(2 · 12) = 15 $$ $$mm$$

Oberfläche einer quadratischen Pyramide. Rechnen mit $$a$$ und $$h_k$$.

Manchmal sind andere Werte der Pyramide gegeben und du musst die notwendigen Größen erst ermitteln (meist mit Pythagoras).

Beispiel:

gegeben: $$ a = 5$$ $$ cm$$
       $$h_k$$ $$= 8$$ $$cm$$

Rechnung:

$$1.$$ $$h_s$$ mit Pythagoras berechnen (Hypotenuse gesucht):
   $$h_s = sqrt(h_k^2+(a/2)^2)$$
   $$h_s = sqrt(8^2+(5/2)^2$$
   $$h_s$$ $$approx$$ 8,38 cm

$$2.$$ $$O$$ berechnen:
   $$O =$$ Grundfläche $$+$$ Mantel
   $$O = a^2 + 2 * a * h_s$$
   $$O = 5^2 + 2 * 5 * 8,38$$
   $$O$$ $$approx$$ $$108,80$$ $$cm^2$$

Oberfläche einer quadratischen Pyramide. Rechnen mit $$a$$ und $$s$$.

Beispiel

gegeben: $$a = 25$$ $$ cm$$
        $$s= 18$$ $$ cm$$

Rechnung:
$$h_s$$ ist eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks „Seitenkante – halbe Grundseite – Seitenhöhe“. Der rechte Winkel liegt zwischen der Seitenhöhe und der halben Grundseite.

1. $$h_s$$ gesucht
   $$h_s = sqrt(s^2-(a/2)^2)$$
   $$h_s = sqrt(18^2-(25/2)^2$$
   $$h_s$$ $$approx$$ 12,95 cm

2. $$O$$ berechnen:
   $$O =$$ Grundfläche $$+$$ Mantel
   $$O$$ $$= a^2 + 2 * a * h_s$$
   $$O = 25^2 + 2 *2 5 * 12,95$$
   $$O$$ $$approx$$ $$1272,50$$ $$cm^2$$

Oberfläche einer quadratischen Pyramide. Rechnen mit $$s$$ und $$h_k$$

Dieses Mal ist keiner der zwei notwendigen Werte gegeben. Beide müssen erst (mit Pythagoras) ermittelt werden.

Beispiel:

gegeben: $$s = 18$$ $$ cm$$
        $$h_k$$ $$ = 12$$ $$ cm$$

Rechnung:

1. $$e/2$$ berechnen
Du rechnest mit dem Dreieck „Seitenkante – Körperhöhe – halbe Diagonale“. Der rechte Winkel liegt zwischen Körperhöhe und halber Diagonale. Du suchst eine Kathete.

   $$e/2 = sqrt(s^2-(h_k)^2)$$

   $$e/2 = sqrt(18^2-12^2$$

   $$e/2$$ $$approx$$ $$13,42$$ $$cm$$

  Daraus ergibt sich:  $$e= 2 * e/2 = 2 * 13,42$$ $$approx$$ $$26,84$$ $$ cm$$

2. $$a$$ berechnen:
Die Diagonale eines Quadrats wird mit der Formel $$e = a · sqrt(2)$$ berechnet. Durch Umstellung erhältst du:
   $$ a = e/(sqrt(2)$$

   $$ a = 26,84/(sqrt(2)$$
   $$a$$ $$approx$$ $$18,98$$ $$cm$$

3. $$h_s$$ berechnen:

   $$h_s = sqrt(h_k^2+(a/2)^2)$$
   $$h_s = sqrt(12^2+(18,98/2)^2)$$

   $$h_s$$ $$approx$$ $$15,30$$ $$ cm$$

4. $$O$$ berechnen:
   $$O = a^2 + 2 * a * h_s =18,98^2 + 2 * 18,98 * 15,30 approx$$ $$941,03$$ $$ cm^2$$