Das Volumen von Pyramiden

Pyramiden gibt’s doch nur noch im alten Ägypten? Architekten heutzutage arbeiten auch mit der Form der Pyramide.
Das hier ist die Bibliothek in Ulm:

Bild: mauritius images GmbH, Mittenwald/Westend61/Siegmann, Martin

Eine Formel?

Damit du das Volumen (den Rauminhalt) von Pyramiden bestimmen kannst, benötigst du eine Formel. Diese Formel kannst du dir folgendermaßen klar machen:

Nimm 2 Behälter, einen in der Form eines Quaders und den anderen in Form einer Pyramide. Die 2 Behälter haben dieselbe Grundfläche und dieselbe Höhe.

Umfüllen

Füllst du die Pyramide mit einer Flüssigkeit und schüttest diese anschließend in den Quader, so ist dieser zu einem Drittel gefüllt.

Wiederholst du diesen Vorgang noch zweimal, ist der Quader voll.

Die Volumenformel der Pyramide

Als erste Formel erhältst du also: $$3*Volumen_(Pyramide)=Volumen_(Quader)$$
Umgestellt erhältst du:
$$Volumen_(Pyramide)=1/3*Volumen_(Quader)$$
Kürzer: $$V_(Py)=1/3*V_(Qu)$$

Für das Volumen eines Quaders kennst du die Formel $$V_(Qu)=a*b*c$$.
Also gilt: $$V_(Py)=1/3*a*b*c$$.
Der Term $$a*b$$ ist gleich der Grundfläche $$G$$ des Quaders und somit auch der der Pyramide. Der Term $$c$$ ist sowohl beim Quader als auch bei der Pyramide die Höhe $$h$$.
Du erhältst die Formel: $$V_(Py)=1/3*G*h$$.

Gilt die Formel für alle Pyramiden?

Du hast eben eine ganz spezielle Pyramide mit einer rechteckigen Grundfläche betrachtet. Gilt die Formel auch bei Pyramiden mit anderen Grundflächen?

Durch denselben „Umfüllversuch“ kann man zeigen:
Besitzt die Pyramide eine dreieckige Grundfläche, so passt diese ebenfalls dreimal in das Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe.

Besitzt die Pyramide eine sechseckige Grundfläche, so passt diese ebenfalls dreimal in das Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe.



Es gilt: Besitzt die Pyramide irgendeine eckige Grundfläche, so passt diese dreimal in ein Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe.

Beweis der Formel bei einer quadratischen Pyramide

Du startest mit einem Würfel (alle Seiten sind gleich lang).

In einen Würfel passen 6 Pyramiden mit einer quadratischen Grundfläche hinein.



Also gilt: $$6*V_(Py)=V_(Wü)$$
In einen halben Würfel (einem Quader) passen genau 3 Pyramiden hinein (eine Ganze und vier Halbe).

Es gilt: $$3*V_(Py)=[1/2*V_(Wü)]=V_(Qu)$$
Daraus folgt durch Umstellung der oberen Gleichung: $$V_(Py)=1/3*V_(Qu)$$
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Quaders kennst du schon. Es ergibt sich: $$V_(Py)=1/3*G*h$$.
In diesem speziellen Fall kannst du sogar eine genaue Formel angeben.

Der Würfel hat die Kantenlänge $$a$$. Die Grundfläche $$G$$ ist demnach $$a^2$$. Die Höhe der Pyramide ist $$1/2*a$$.
Insgesamt gilt also: $$V_(Py)=1/3*a^2*1/2*a=1/6*a^3$$.

Volumen aus Höhe und Grundfläche berechnen

Um das Volumen einer Pyramide zu berechnen, musst du den Wert der Höhe und die Größe der Grundfläche der Pyramide kennen. Die Höhe ist meistens gegeben. Die Schwierigkeit besteht in der Berechnung der Grundfläche.

Beispiel:
Eine Pyramide ist $$10 cm$$ hoch. Die Grundfläche hat die Größe $$24 cm^2$$.

Bestimme das Volumen der Pyramide.

$$V_(Py)=1/3*G*h=1/3*24*10=80$$.
Das Volumen der Pyramide beträgt $$80 cm^3$$.

Volumen aus Grundkante und Höhe berechnen

Bei einer quadratischen Pyramide beträgt die Länge der Grundkante $$8 m$$. Die Höhe der Pyramide beträgt $$6 m$$.

Da die Grundfläche ein Quadrat ist, gilt für das Volumen:
$$V_(Py)=1/3*G*h=1/3*8*8*6=128$$
Das Volumen der Pyramide beträgt $$128 m^3$$.

Pyramide mit gleichseitigem Dreieck als Grundfläche

Eine Pyramide mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche mit Grundkantenlänge $$a=4 cm$$ ist $$5 cm$$ hoch.



Bestimme den Rauminhalt der Pyramide.

Skizze der Grundfläche:



Die Grundfläche ist ein Dreieck. Den Inhalt eines Dreiecks berechnest du mit $$A=(g*h_G)/2$$.
Die Höhe $$h_G$$ des Dreiecks bestimmst du mit dem Satz des Pythagoras.
Stelle damit die Gleichung auf:
$$h_G^2+2^2=4^2$$
$$h_G=sqrt(4^2-2^2)=sqrt12 approx 3,46$$
$$A=(g*h_G)/2=(4*3,46)/2=6,92$$

Die Grundfläche beträgt $$6,92$$ $$cm^2$$

Jetzt kannst du das Volumen berechnen.
$$V_(Py)=1/3*G*h=1/3*6,92*5=11,53$$
Das Volumen der Pyramide beträgt $$11,53 cm^3$$.