Strahlensätze

Strahlensätze befassen sich mit dem Verhältnis von Strecken. Du kannst unbekannte Strecken ausrechnen, indem du die Strahlensätze anwendest.

Strahlensätze gehen auf ähnliche Figuren zurück. Allerdings vergleichst du eine Strecke und ihre Veränderung durch Streckung.

Die erste Strahlensatzfigur sieht so aus:

Zwei Strecken sind in der Strahlensatzfigur parallel. Sie sind hier rot gekennzeichnet.

Die Beziehungen, die in der Figur gelten, erklärt der erste Strahlensatz.

Strahlensatz und ähnliche Figuren:
In der Strahlensatzfigur siehst du zwei ähnliche Figuren: Das gelbe und das grüne Dreieck sind ähnlich. Das liegt daran, dass die Dreiecke den gemeinsamen Punkt Z haben. In Z ist derselbe Winkel. Die beiden Geraden mit den Punkten A und B bzw. A’ und B’ sind parallel.

Deshalb sind die anderen 2 Winkel Stufenwinkel und gleich groß. Die 3 Winkel im gelben Dreieck sind genauso groß wie die 3 Winkel in dem grünen Dreieck. Damit sind die Dreiecke ähnlich.

Der erste Strahlensatz

Der erste Strahlensatz bezieht sich auf die Verhältnisse von Strahlenabschnitten. Die Strahlen gehen von Z aus.

Der erste Strahlensatz in Farbe

Beispiel:
Du willst berechnen, wie lang die Strecke $$bar(ZB)$$ ist, hast aber nur alle anderen Streckenlängen gegeben.

$$bar(ZA)=8$$ $$cm$$
$$bar(ZA’)=10$$ $$cm$$
$$bar(ZB’)=19$$ $$cm$$

Jetzt löst du die Aufgabe mithilfe der Gleichungslehre.

$$8/10=x/19$$ $$|*19$$

$$(8*19)/10=x$$

$$152/10=15,2=x$$

Die Strecke $$bar(ZB)$$ ist $$15,2$$ $$cm$$ lang.

Wenn die gesuchte Zahl im Nenner steht

Wenn die gesuchte Zahl im Nenner steht, wendest du das Vertauschen von Zähler und Nenner auf beiden Seiten der Gleichung an.

Beispiel

Gesucht ist $$bar(ZA’)$$:

$$bar(ZA)=14$$ $$cm$$
$$bar(ZB’)=10$$ $$cm$$
$$bar(ZB)=6$$ $$cm$$

$$14/x=6/10$$ $$|$$ Kehrwert nehmen

$$x/14=10/6$$

$$x=(10*14)/6=23,bar(3)$$ $$cm$$

Die Strecke $$bar(ZA’)$$ ist $$23,bar(3)$$ $$cm$$ lang.

Anders aufgeschrieben

Du darfst den Strahlensatz auch so notieren:

Mit Buchstaben:
$$bar(ZA’)/bar(ZA)=bar(ZB’)/bar(ZB)$$

Hier steht jeweils die längere Seite im Zähler und die kürzere Seite im Nenner.

Selbstverständlich kannst du auch rot mit blau tauschen. Das ermöglicht das Gleichheitszeichen.

Mit Buchstaben:
$$bar(ZA)/bar(ZA’)=bar(ZB)/bar(ZB’)$$

Erweiterung des ersten Strahlensatzes

Du kannst noch weitere Beziehungen in der 1. Strahlensatzfigur aufstellen. Hier werden die Teilstücke $$bar(A A’)$$ und $$bar(BB’)$$ miteinbezogen.

Es gilt auch:

In Farbe sieht das so aus:

und

Beweis für diesen Strahlensatz mit Farben

Diese Farbkombination ist zu beweisen: Blau zu lila verhält sich wie rot zu orange. Keine der Strecken soll gleich 0 sein.

1. Überlegung
Das Dreieck $$ZAB$$ und das Dreieck $$ZA’B’$$ sind ähnlich. Es gibt einen Streckfaktor $$k$$.

2. Überlegung
Es gilt:
Streckst du die Strecke $$bar(ZA)$$ mit dem Faktor $$k$$, kommt $$bar(ZA’)$$ heraus. Streckst du die Strecke $$bar(ZB)$$ mit demselben Faktor $$k$$, kommt $$bar(ZB’)$$ heraus. Es gilt in Farben:

(Du streckst die kurze Strecke und es kommt die verlängerte Strecke heraus.)

Beide Gleichungen werden jetzt nach $$k$$ umgestellt.

Es ergibt sich jeweils ein Bruch für $$k$$.

Jetzt werden die beiden Brüche gleichgesetzt.

1. Strahlensatz an sich schneidenden Geraden

Der 1. Strahlensatz gilt auch an sich schneidenden Geraden.

 
$$bar(ZA)/bar(ZA’)=bar(ZB)/bar(ZB’)$$

Wenn du es als Herausforderung siehst, die ähnlichen Dreiecke zu sehen, stell dir vor, das Dreieck ZAB wird an Z um 180° gedreht.

Es werden weiterhin die Strecken auf einem Strahl miteinander verglichen.