Den 2. Strahlensatz anwenden
Der zweite Strahlensatz
Der 1. Strahlensatz gilt für Beziehungen auf 2 Halbgeraden (Strahlen).
Da es hilfreich ist, auch die Parallelen miteinzubeziehen, gibt es den 2. Strahlensatz.
Wenn 2 durch den Punkt $$Z$$ verlaufende Strahlen von 2 parallelen Geraden geschnitten werden, gilt:
$$bar(ZA)/bar(AB) = bar(ZA’)/bar(A’B’)$$
In Worten:
Die kurze Strahlstrecke zu der kurzen Parallelen verhält sich genauso wie die lange Strahlstrecke zu der langen Parallelen.
Oder:
Die Strecke $$bar(ZA)$$ verhält sich zu der Strecke $$bar(AB)$$ genauso wie die Strecke $$bar(ZA’)$$ zu der Strecke $$bar(A’B’)$$.
Wenn der 2. Strahlensatz so aufgeschrieben ist, bedeutet er dasselbe.
$$|AB|/|A’B’| = |ZA|/|ZA’|$$
Die Strecke in Betragsstrichen steht für die Länge der jeweiligen Strecke.
Auch der 2. Strahlensatz gilt für alle ähnlichen Figuren, die von einem Punkt aus gestreckt wurden.
Der zweite Strahlensatz in Farbe
Eine Darstellung für den 2. Strahlensatz siehst du hier. Es gilt: $$g$$ ist parallel zu $$h$$.
Umstellung des zweiten Strahlensatzes
Die Gleichung kannst du umstellen. Aus
$$bar(ZA)/bar(AB) = bar(ZA’)/bar(A’B’)$$
wird dann
$$bar(A’B’)/bar(AB) = bar(ZA’)/bar(ZA)$$.
Hier setzt du erst die beiden parallelen Strecken zueinander in Beziehung. In Farbe sieht das so aus:
Du kannst auch die Seiten der Gleichung tauschen:
Ebenso darfst du jeweils Zähler und Nenner tauschen:
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Der obere Strahl in der Figur
Du kannst den 2. Strahlensatz auch mit dem oberen Strahl bilden.
Mit diesem Strahl lautet der 2. Strahlensatz:
$$bar(ZB)/bar(AB) = bar(ZB’)/bar(A’B’)$$
Mit Farben dargestellt:
Die beiden parallelen Strecken kommen immer beide im 2. Strahlensatz vor. Es wird immer nur ein Strahl verwendet.
Jetzt wird gerechnet
Die rosa Strecke ist gesucht.
Schreibe den Strahlensatz auf, in dem die rosa Strecke und die gegebenen Strecken vorkommen:
$$bar(ZA)/bar(AB) = bar(ZA’)/bar(A’B’)$$
Setze die Zahlen ein, die du gegeben hast:
$$8/10 = 14/?$$ $$|$$ Kehrwert
$$10/8 = ?/14$$ $$|*14$$
$$(10*14)/8 = ?$$ $$|$$ Kürzen
$$(5*7)/2=?$$
$$35/2 = ?$$
$$17,5 = ?$$
Du kannst den Strahlensatz auch gleich so notieren, dass $$?$$ im Zähler steht.
2. Strahlensatz an sich schneidenden Geraden
Es gibt den 2. Strahlensatz auch an sich schneidenden Geraden.
Es gilt $$bar(A’B’)/bar(AB) = bar(ZA’)/bar(ZA)$$.
Der 2. Strahlensatz an sich schneidenden Geraden erinnert an ein N oder ein Z. Der Buchstabe kann auch in gespiegelter Form vorliegen.
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Fehlerquelle
Es gibt beim 2. Strahlensatz nicht die Möglichkeit, die Strecke $$bar(A A’)$$ oder die Strecke $$bar(BB’)$$ zu verwenden.
Minibeweis für den zweiten Strahlensatz
Zu beweisen ist:
$$bar(ZA)/bar(AB) = bar(ZA’)/bar(A’B’)$$
Die Geraden $$g$$ und $$h$$ sind parallel. Die Figur lässt sich mit einer zentrischen Streckung mit dem Faktor $$k$$ angeben.
Deswegen gilt:
$$k * bar(AB) = bar(A’B’)$$ $$|:bar(AB)$$
und
$$k*bar(ZA) = bar(ZA’)$$ $$|:bar(ZA)$$
Stelle nach $$k$$ um:
$$k=bar(A’B’)/bar(AB)$$
und
$$k=bar(ZA’)/bar(ZA)$$
Da beides $$=k$$ ist, setze gleich:
$$bar(A’B’)/bar(AB) = bar(ZA’)/bar(ZA)$$
Durch Formelumstellung kommst du zu der Ausgangsdarstellung. Rechne mit der Regieanweisung: $$|*bar(ZA)$$ und $$|:bar(A’B’)$$. So erhältst du:
$$bar(ZA)/bar(AB) = bar(ZA’)/bar(A’B’)$$
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