Strahlensätze für Profis

Die Krönung in Mathe sind Beweise von Sätzen. Alle Gesetzmäßigkeiten wie den Strahlensatz haben Mathematiker allgemein für alle möglichen Fälle bewiesen.

Das i-Tüpfelchen ist, wenn du untersuchst, ob auch die Umkehrung eines Satzes gilt.

Guck dir das am besten am Beispiel an:

Die Umkehrung des 1. Strahlensatzes

Den 1. Strahlensatz kennst du als Wenn-Dann-Aussage.

Wenn $$bar(AC)$$ und $$bar(BD)$$ parallel sind, dann gilt $$bar(ZA)/bar(ZB)=bar(ZC)/bar(ZD)$$.



Diese Aussage kannst du umkehren. Die Frage ist, ob die Umkehrung gilt.

Wenn $$bar(ZA)/bar(ZB)=bar(ZC)/bar(ZD)$$, dann sind $$bar(AC)$$ und $$bar(BD)$$ parallel.

Auf Deutsch :-)
Wenn du dasselbe Streckenverhältnis auf 2 Strahlen vorliegen hast, gilt dann, dass die beiden blauen Strecken parallel sein müssen?

Wenn ja, gilt auch die Umkehrung des 1. Strahlensatzes.

Also los:

Die Umkehrung ausprobieren

Zeichne zuerst einen Strahl mit dem Startpunkt $$Z$$ und den Punkten $$A$$ und $$B$$.



Dann zeichnest du einen zweiten Strahl von $$Z$$ aus. Jetzt wählst du im selben Teilungsverhältnis die Punkte $$C$$ und $$D$$.

Beispiel:

$$bar(ZA)=3$$ $$cm$$
$$bar(ZB)=9$$ $$cm$$
$$bar(ZC)=12$$ $$cm$$
$$bar(ZD)=4$$ $$cm$$

$$bar(ZA)/bar(ZB)=1/3$$ und $$bar(ZC)/bar(ZD)=1/3$$.




Verbinde die beiden Punkte.




Die Strecken $$bar(AC)$$ und $$bar(BD)$$ sind parallel.

Streng genommen musst das erstmal beweisen. Bisher hast du ja nur ein Beispiel gesehen. Na, dann mal los:

Beweis für die Umkehrung des 1. Strahlensatzes

In diesem Fall nimmst du einen Widerspruchsbeweis. Das bedeutet: Du nimmst das Gegenteil der zu zeigenden Aussage an und führst dieses Gegenteil zu einem offensichtlichen Widerspruch.

Als Voraussetzung gilt:

$$bar(ZA)/bar(ZB)=bar(ZC)/bar(ZD)$$

Annahme:

$$bar(AC)$$ und $$bar(BD)$$ sind nicht parallel.

Zeichne zuerst einen Strahl mit den Punkten $$Z$$, $$A$$ und $$B$$ und einen 2. Strahl mit dem Punkt $$C$$.



Zeichne eine 2. Strecke durch $$B$$, die nicht parallel zu $$bar(AC)$$ ist.



Den Schnittpunkt mit dem Strahl nennst du $$D_1$$.
Dann zeichnest du die Parallele zu $$bar(AC)$$. Den Schnittpunkt nennst du $$D_2$$.



$$D_2$$ und $$D_1$$ sind nicht identisch. $$D_1$$ $$!=$$ $$D_2$$. Auch die rote Strecke und die blaue Parallele sind verschieden.

Es soll aber $$bar(ZA)/bar(ZB)=bar(ZC)/bar(ZD_1)$$ gelten. Das war die Voraussetzung.
Aufgrund des 1. Strahlensatzes gilt aber $$bar(ZA)/bar(ZB)=bar(ZC)/bar(ZD_2)$$, denn die Strecken $$bar(AC)$$ und $$bar(BD_2)$$ sind parallel. Daraus folgt $$D_1$$ $$=$$ $$D_2$$.

Das ist aber ein Widerspruch dazu, dass $$D_1$$ und $$D_2$$nicht identisch sind.

Mit dem Widerspruch hast du gezeigt, dass die Annahme „$$bar(AC)$$ und $$bar(BD)$$ nicht parallel“ falsch war. Also ist $$bar(AC)$$ parallel zu $$bar(BD)$$. Das wolltest du zeigen!

Wenn $$bar(ZA)/bar(ZB)=bar(ZC)/bar(ZD)$$, dann ist $$bar(AC)$$ parallel zu $$bar(BD)$$.

Umkehrung des 2. Strahlensatzes

Der 2. Strahlensatz lautet als Wenn-Dann-Aussage:

Wenn $$bar(AC)$$ $$||$$ $$bar(BD)$$, dann gilt das Streckenverhältnis $$bar(ZA)/bar(AC)=bar(ZB)/bar(BD)$$.

Die Umkehrung lautet:



Wenn $$bar(ZA)/bar(AC)=bar(ZB)/bar(BD)$$, dann sind $$bar(AC)$$ und $$bar(BD)$$ parallel.

Die Frage ist wieder, ob das immer gilt.

Das Gegenbeispiel

Wenn du ein Gegenbeispiel gefunden hast, in dem die Umkehrung nicht gilt, ist die Umkehrung wiederlegt.

Beispiel:

Zeichne zuerst einen Strahl. Markiere die Punkte $$Z$$, $$A$$ und $$B$$.



Zeichne den 2. Strahl und die Strecke $$bar(BD)$$ ein.



Jetzt zeichnest du die Strecke ein, für die das Streckenverhältnis gilt. Dazu nimmst du $$bar(AC)$$ in die Zirkelspanne. Aber du stellst fest, dass es 2 Möglichkeiten für die Lage der Strecke $$bar(AC)$$ gibt!



Die rote Strecke $$bar(AC_2)$$ erfüllt auch das Streckenverhältnis $$bar(ZA)/bar(AC)=bar(ZB)/bar(BD)$$. Damit ist gezeigt, dass die Umkehrung des 2. Strahlensatzes nicht immer gilt. Die rote Strecke und $$bar(BD)$$ sind nicht parallel.

Aufgaben dazu??

Zu der Umkehrung der Strahlensätze gehören Aufgaben, bei denen ein Streckenverhältnis vorgegeben ist.

Du prüfst dann, ob die beiden entstehenden Geraden parallel sein müssen oder nicht.

Umkehrung 1. Strahlensatz:
Liegt ein gleiches Streckenverhältnis auf den beiden Strahlen vor, sind die Geraden parallel.

Umkehrung 2. Strahlensatz:
Liegt das Verhältnis zwischen einem Strahl und den angeblich parallelen Geraden vor, muss es sich nicht um Parallelen handeln.