Mit Sinus, Kosinus, Tangens im rechtwinkligen Dreieck rechnen
Das rechtwinklige Dreieck
Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck
Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie heißt Hypotenuse.
Die beiden übrigen Seiten heißen Katheten.
Gegenkathete und Ankathete
Die Katheten werden noch einmal unterschieden.
Die Kathete, die dem Winkel $$alpha$$ gegenüber liegt, heißt Gegenkathete von $$alpha$$.
Die Kathete, die am Winkel $$alpha$$ anliegt, heißt Ankathete von $$alpha$$.
Beispiel:
Seite $$a$$:
Da die Seite $$a$$ dem Winkel $$alpha$$ gegenüberliegt, ist die Seite $$a$$ die Gegenkathete des Winkels $$alpha$$. Da die Seite $$a$$ aber auch am Winkel $$beta$$ anliegt, ist sie gleichzeitig die Ankathete von $$beta$$.
Seite $$b$$:
Da die Seite $$b$$ dem Winkel $$beta$$ gegenüberliegt, ist die Seite $$b$$ die Gegenkathete des Winkels $$beta$$. Da die Seite $$b$$ aber auch am Winkel $$alpha$$ anliegt, ist sie gleichzeitig die Ankathete von $$alpha$$.
Trigonometrie
Jetzt wird gleich gerechnet. Der Teil der Mathematik, in dem Seiten und Winkel in Dreiecken berechnet werden, heißt Trigonometrie. Los geht es mit rechtwinkligen Dreiecken.
In rechtwinkligen Dreiecken kannst du gleiche Längenverhältnisse entdecken.
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Der Sinus eines Winkels
a) $$alpha = 30°$$; $$a = 2\ cm$$; $$c = 4\ cm$$
b) $$α = 30°$$; $$a = 3\ cm$$; $$c = 6\ cm$$
Der Quotient $$a/c = (Geg\enkathete)/(Hypoten\use)$$ hat bei beiden rechtwinkligen Dreiecken den gleichen Wert.
a) $$a/c=2/4=1/2$$
b) $$a/c=3/6=1/2$$
Dieses Längenverhältnis wird Sinus genannt.
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
$$S\i\n\us = (Geg\enkathete)/(Hypoten\use)$$
Der Kosinus eines Winkels
Der Quotient $$b/c = (Ankathete)/(Hypoten\use)$$ hat bei beiden rechtwinkligen Dreiecken den gleichen Wert.
Dieses Längenverhältnis wird Kosinus genannt.
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
$$K\o\si\n\us = (Ankathete)/(Hypoten\use)$$
Der Tangens eines Winkels
Der Quotient $$a/b = (Ge\g\e\nkathete)/(Ankathete)$$ hat bei beiden rechtwinkligen Dreiecken den gleichen Wert.
Dieses Längenverhältnis wird Tangens genannt.
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
$$Tang\ens = (Ge\g\e\nkathete)/(Ankathete)$$
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Einfache Berechnungen mit den Winkelfunktionen
Beispiel 1: Seiten berechnen
gegeben: $$c = 4\ cm$$; $$alpha = 30°$$; $$gamma = 90°$$
Seite $$a$$
1. Formel aufstellen
$$sin alpha = (Geg\enkathete)/(Hypoten\use)$$ $$| * c$$
2. Formel umstellen
$$sin alpha = (Geg\enkathete)/(Hypoten\use)$$ $$| * c$$
$$c * sin alpha = a$$
3. Ausrechnen
$$4 * sin 30° = a$$
$$2\ cm = a$$
Seite b
1. Formel aufstellen
$$cos alpha = (Ankathete)/(Hypoten\use)$$ $$| * c$$
2. Formel umstellen
$$cos alpha = (Ankathete)/(Hypoten\use)$$ $$| * c$$
$$c * cos alpha = b$$
3. Ausrechnen
$$4 * cos 30° = b$$
$$3,46 cm ≈ b$$
TR-Eingabe:
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Einfache Berechnungen mit den Winkelfunktionen
Beispiel 2: Winkel berechnen
$$a= 3\ cm$$; $$b = 4\ cm$$; $$alpha = ?$$
Winkel $$alpha$$
1. Formel aufstellen
$$tan alpha = (Geg\enkathete)/(Ankathete) = a/b$$
2. Ausrechnen
$$tan alpha = 3/4$$
$$alpha ≈ 36,87°$$
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