Den Kosinussatz anwenden
Der Kosinussatz
$$c=7$$ $$km$$, $$b=3,6$$ $$km$$, $$alpha=56,3^°$$
Berechne die Seite $$a$$.
Hm, den Sinussatz kannst du mit den gegebenen Stücken nicht anwenden.
Aber es gibt da noch einen Satz - den Kosinussatz!
Die Herleitung
Zeichne die Höhe ein, um rechtwinklige Dreiecke zu erzeugen.
Dreieck ADC
$$cos alpha=y/b$$ $$|*b$$
$$b*cos alpha = y$$
Rechtwinkliges Dreieck DBC (Satz des Pythagoras)
$$h_c^2+x^2=a^2$$ $$|x=c-y$$
$$h_c^2+(c-y)^2=a^2$$ $$|-(c-y)^2$$
$$h_c^2=a^2-(c-y)^2$$
Rechtwinkliges Dreieck ADC (Satz des Pythagoras)
$$h_c^2+y^2=b^2$$ $$|-y^2$$
$$h_c^2=b^2-y^2$$
Gleichsetzen von $$h_c^2$$
$$a^2-(c-y)^2$$ $$=$$ $$b^2-y^2$$ $$|+(c-y)^2$$
$$a^2=b^2-y^2+(c-y)^2$$
$$a^2=b^2-y^2+c^2-2cy+y^2$$
$$a^2=b^2+c^2-2*c*$$ $$y$$
$$a^2=b^2+c^2-2*c*$$ $$b*cos alpha$$
Das ist eine Gleichung des Kosinussatzes.
Kosinussatz
In jedem Dreieck gilt:
$$a^2$$ $$=b^2+c^2-2*b*c*cos$$$$alpha$$
$$b^2$$ $$=a^2+c^2-2*a*c*cos$$$$beta$$
$$c^2$$ $$=a^2+b^2-2*a*b*cos$$$$gamma$$
Seite und zugehöriger Winkel stehen immer außen.
Ein Beispiel
Jetzt kannst du die Seite $$a$$ des Dreiecks zu Beginn berechnen.
$$c=7$$ $$km$$, $$b=3,6$$ $$km$$, $$alpha=56,3^°$$
Setze die gegebenen Stücke in den Kosinussatz ein:
$$a^2=3,6^2+7^2-2*3,6*7*cos 56,3^°$$
$$a^2=34$$ $$|sqrt( )$$
$$a=5,83$$ $$km$$
Der Kosinussatz:
$$a^2$$ $$=b^2+c^2-2*b*c*cos$$$$alpha$$
$$b^2$$ $$=a^2+c^2-2*a*c*cos$$$$beta$$
$$c^2$$ $$=a^2+b^2-2*a*b*cos$$$$gamma$$
Noch nicht kapiert?
kapiert.dekann mehr:
- interaktive Übungen
und Tests - individueller Klassenarbeitstrainer
- Lernmanager
kapiert.de passt zu deinem Schulbuch!
Buchreihen Mathematik mein Schulbuch suchen
