Den Sinussatz anwenden

Sinus in beliebigen Dreiecken?

Bisher hast du mit Sinus, Kosinus und Tangens nur im rechtwinkligen Dreieck gerechnet. In beliebigen Dreiecken hast du durch das Einzeichnen einer Höhe rechtwinklige Dreiecke hergestellt. Dann konntest du wieder mit Sinus, Kosinus und Tangens rechnen.

Den Sinussatz anwenden

Aber es gibt eine Regel, mit der du mithilfe des Sinus in jedem Dreieck die Seitenlängen und Winkel berechnen kannst!

Das ist der Sinussatz. Den kannst du dir sogar selbst herleiten.

Herleiten des Sinussatzes

Nimm ein beliebiges Dreieck und zeichne eine Höhe ein.

Den Sinussatz anwenden

a=165 m, α=40°, β=60°, b=?


Dreieck ADC

sinα=hcb b

bsinα=hc

      Dreieck BCD

     sinβ=hca a

      asinβ=hc


Gleichsetzen von hc

bsinα = asinβ |sinα

b=asinβsinα |sinβ

Also gilt:

bsinβ=asinα

Wenn das nicht nach einer tollen Formel zum Rechnen aussieht!


bsinα ist so lang wie hc.
Und asinβ ist so lang wie hc.
Also müssen bsinα und asinβ gleich lang sein. Mathematisch bedeutet das „Gleichsetzen“:
bsinα=asinβ.

Der Sinussatz

Die Rechnung von eben kannst du mit jeder der 3 Höhen des Dreiecks durchführen. Dann ergibt sich:

In jedem Dreieck gilt:
asinα=bsinβasinα=csinγbsinβ=csinγ

Den Sinussatz anwenden

Zum Rechnen nimmst du dir nur eine der Gleichungen. Und welche? Das hängt von der Aufgabe ab: Du musst 3 der Variablen (Unbekann­ten) gegeben haben, damit du weißt, welche Gleichung du anwendest.

Wenn du die Gleichungen umstellst, erhältst du diese Formen:

ab=sinαsinβbc=sinβsinγac=sinαsinγ

Du kannst dir aussuchen, wie du dir den Sinussatz am besten merkst.

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Beispiel 1: Gesuchte Größe im Zähler

Den Sinussatz anwenden

a=165 m, α=40°, β=60°, b=?

Lösung

Bestimme anhand der gegebenen Stücke, welche Gleichung des Sinussatzes du nimmst:

asinα=bsinβ

Stelle die Gleichung um und berechne:

asinα=bsinβ sinβ

asinβsinα=b

165sin60°sin40°=b

222,30 m =b

Beispiel 2: Gesuchte Größe im Nenner

Den Sinussatz anwenden

b=5,7 cm, c=7,8 cm, γ=43°, β=?

Lösung

Bestimme anhand der gegebenen Stücke, welche Gleichung des Sinussatzes du nimmst:

bsinβ=csinγ

Vertausche Zähler und Nenner auf beiden Seiten der Gleichung. Stelle um und berechne:

sinβb=sinγc b

sinβ=sinγbc

sinβ=sin43°5,77,8

β=29,89°

Wenn die gesuchte Größe im Nenner steht, bildest du am besten auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert (Zähler und Nenner vertauschen). Dann kannst du wie gewohnt weiterrechnen.




















Auf 2 Nachkommastellen gerundet erhältst du sinβ=0,5. Rechnest du mit diesem gerundeten Ergebnis weiter, bekommst du β=30°.





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