Den Sinussatz anwenden
Sinus in beliebigen Dreiecken?
Bisher hast du mit Sinus, Kosinus und Tangens nur im rechtwinkligen Dreieck gerechnet. In beliebigen Dreiecken hast du durch das Einzeichnen einer Höhe rechtwinklige Dreiecke hergestellt. Dann konntest du wieder mit Sinus, Kosinus und Tangens rechnen.
Aber es gibt eine Regel, mit der du mithilfe des Sinus in jedem Dreieck die Seitenlängen und Winkel berechnen kannst!
Das ist der Sinussatz. Den kannst du dir sogar selbst herleiten.
Herleiten des Sinussatzes
Nimm ein beliebiges Dreieck und zeichne eine Höhe ein.
a=165 m, α=40°, β=60°, b=?
sinα=hcb ∣⋅b
b⋅sinα=hc
sinβ=hca ∣⋅a
a⋅sinβ=hc
Gleichsetzen von hc
b⋅sinα = a⋅sinβ |sinα
b=a⋅sinβsinα |sinβ
Also gilt:
bsinβ=asinα
Wenn das nicht nach einer tollen Formel zum Rechnen aussieht!
b⋅sinα ist so lang wie hc.
Und a⋅sinβ ist so lang wie hc.
Also müssen b⋅sinα und a⋅sinβ gleich lang sein. Mathematisch bedeutet das „Gleichsetzen“:
b⋅sinα=a⋅sinβ.
Der Sinussatz
Die Rechnung von eben kannst du mit jeder der 3 Höhen des Dreiecks durchführen. Dann ergibt sich:
In jedem Dreieck gilt:
asinα=bsinβ asinα=csinγ bsinβ=csinγ
Zum Rechnen nimmst du dir nur eine der Gleichungen. Und welche? Das hängt von der Aufgabe ab: Du musst 3 der Variablen (Unbekannten) gegeben haben, damit du weißt, welche Gleichung du anwendest.
Wenn du die Gleichungen umstellst, erhältst du diese Formen:
ab=sinαsinβ bc=sinβsinγ ac=sinαsinγ
Du kannst dir aussuchen, wie du dir den Sinussatz am besten merkst.
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Beispiel 1: Gesuchte Größe im Zähler
a=165 m, α=40°, β=60°, b=?
Lösung
Bestimme anhand der gegebenen Stücke, welche Gleichung des Sinussatzes du nimmst:
asinα=bsinβ
Stelle die Gleichung um und berechne:
asinα=bsinβ ∣⋅sinβ
a⋅sinβsinα=b
165⋅sin60°sin40°=b
222,30 m =b
Beispiel 2: Gesuchte Größe im Nenner
b=5,7 cm, c=7,8 cm, γ=43°, β=?
Lösung
Bestimme anhand der gegebenen Stücke, welche Gleichung des Sinussatzes du nimmst:
bsinβ=csinγ
Vertausche Zähler und Nenner auf beiden Seiten der Gleichung. Stelle um und berechne:
sinβb=sinγc ∣⋅b
sinβ=sinγ⋅bc
sinβ=sin43°⋅5,77,8
β=29,89°
Wenn die gesuchte Größe im Nenner steht, bildest du am besten auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert (Zähler und Nenner vertauschen). Dann kannst du wie gewohnt weiterrechnen.
Auf 2 Nachkommastellen gerundet erhältst du sinβ=0,5. Rechnest du mit diesem gerundeten Ergebnis weiter, bekommst du β=30°.
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