Anwendungen mit Potenzen

Potenzen wie $$10^3$$, $$a^4$$ oder $$5^(-1)$$ haben für dich nicht viel mit dem „echten Leben“ zu tun?

Vielleicht überzeugen dich die folgenden Seiten ja vom Gegenteil.:-)

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4 GB = 4000 MB = 4.000.000 KB

Große Zahlen mit Zehnerpotenzen

Der Schuldenberg Deutschlands war 2014 ca. 2 Billionen Euro groß. Eine 2 mit ziemlich viele Nullen… Um die aufzuschreiben, brauchst du Zehnerpotenzen.

Zehnerpotenzen

$$1$$$$0$$ $$=10$$^$$1$$

$$1$$$$00$$ $$=10$$^$$2$$

$$1$$$$000$$ $$=10$$^$$3$$            $$1$$ Tausend

$$1$$$$000000$$ $$= 10$$^$$6$$            $$1$$ Million

$$1$$$$000000000$$ $$= 10$$^$$9$$            $$1$$ Milliarde

$$1$$$$000000000000$$ $$= 10$$^$$12$$            $$1$$ Billion

Bei zu vielen Nullen helfen…

Abgetrennte Zehnerpotenzen

$$darr$$

Zahl zwischen $$1$$ und $$10$$

Also 2 Billionen als Zehnerpotenz ist $$2*10^12$$

Noch ein Beispiel: $$4.512.000 =4,512*10^6$$

Kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen

Weißt du wie groß Viren sind? Die Größe ist abhängig von der Virenart zwischen 10 und 1000 Nanometer. Wie viele Nullen hat 1 Nanometer nach dem Komma?

Abgetrennte Zehnerpotenzen

…gibt’s zum Glück auch bei sehr kleinen Zahlen.

$$0,1=1/10^1=10^(-1)$$
$$0,01=1/10^2=10^(-2)$$
$$0,001=1/10^3=10^(-3)$$
$$0,000001=1/10^6=10^(-6)$$
$$0,000000001=1/10^9=10^(-9)$$

1 Nanometer ($$nm)$$ bedeutet 1 Milliardstel von 1 Meter ($$m$$). Die Zahl hat 9 Stellen nach dem Komma.
$$1   nm=1/(1 000 000 000)m=0,000000001   m=10^-9   m$$

Weitere Beispiele:

$$0,034=3,4*1/100=3,4*10^-2$$

$$6,741*10^-6=0,000006741$$

$$0,00008541   m = 85,41*10^-6   m=85,41   mu m   (Mikrometer)$$

Potenzgleichungen in der Geometrie

Erst spannend wird es ja, wenn du mit Potenzen rechnest, zum Beispiel in Gleichungen.

Wie kannst du die Kantenlänge a eines Würfels berechnen, wenn seine Oberfläche oder sein Volumen bekannt ist?

1. Beispiel
Gegeben:   $$V=125cm^3$$
gesucht: $$a$$   (Kantenlänge)

Potenzgleichung: $$125=a^3$$

Lösung: $$a=root 3 (125   cm^3)=root 3 (125)*root 3 (cm^3)=5   cm$$

Der Würfel hat die Kantenlänge $$a =5$$ $$cm$$.

2. Beispiel
Gegeben:   $$O=150   cm^2$$
gesucht: $$a$$   (Kantenlänge)

Potenzgleichung:   $$150   cm^2=6*a^2$$

Lösung:
$$150   cm^2=6*a^2$$  $$|$$ $$:$$$$6$$

$$25   cm^2=a^2$$

$$a_1=root 2 (25cm^2)=5   cm$$ und $$a_2=-root 2 (25   cm^2)=-5   cm$$

Die zweite Lösung entfällt, da die Kantenlänge eines Würfels immer positiv ist.

Antwort: Der Würfel hat eine Kantenlänge $$a = 5$$ $$cm$$.

Kombinatorik und Potenzen

Erinnerst du dich noch die Experimente mit dem Ziehen aus einer Urne? Auch dabei gibt es Potenzgleichungen.

Kugeln in einer Urne

In einer Urne liegt eine unbekannte Anzahl Kugeln mit Ziffern von $$1$$ bis $$n$$.

Du ziehst eine Kugel, schreibst die Ziffer auf und legst die Kugel wieder zurück. Wenn du 5-mal ziehst und die 5 Ziffern aneinander schreibst, sind 1024 unterschiedliche Kombinationen möglich. Wie viele Kugeln liegen in der Urne?

$$n$$   Anzahl der Kugeln
Potenzgleichung: $$1024= n^5$$

Lösung: $$n=root 5 (1024)=4$$

In der Urne liegen $$4$$ Kugeln.

Sparen und Zinsen

Der Klassiker: Du legst 100 € als Sparguthaben bei einer Bank für 5 Jahre an. Die Bank gibt dir dafür pro Jahr 2,5% Zinsen. Die Zinsen werden jedes Jahr mit verzinst. Wie viel Geld hast du nach 5 Jahren auf dem Sparbuch? Dazu brauchst du Potenzen.

Anfangsguthaben $$K=100€$$
Zinssatz: $$p=2,5%$$

Bestimme aus dem Zinssatz den Zinsfaktor, der ist 1,025.

Los geht’s mit dem Rechnen:

Nach einem Jahr: $$100€ cdot 1,025=102,50 €$$
Nach 2 Jahren: $$102,50 € cdot 1,025=105,60 €$$

Du erinnerst dich vielleicht, dass das auch kürzer geht. Nämlich mit Potenzen:
$$100€ cdot 1,025 cdot 1,025 =105,06 €$$
Oder: $$100€ cdot 1,025^2=105,06 €$$

So wird die Rechnung einfach:

Nach 5 Jahren Sparen hast du 113,14 € auf dem Sparbuch.

Speichergröße und Datenübertragung

Hast du einen USB-Stick? Ein Smartphone? Dann begegnen dir Einheiten wie 100 MB Datenvolumen oder 4 GB Speicherplatz. Hier kommt eine Übersicht über die Bits und Bytes.:-)

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Bit und Byte im Alltag

Speicherkapazität und die Größe von Datenmengen werden in Byte gemessen. Die kleinste Speichereinheit ist 1 Bit. Ein Bit kann 2 Zustände annehmen, 0 oder 1. 8 Bit ergeben 1 Byte:  8 Bit = 1 Byte

So basieren die Einheiten für die Speicherkapazität eigentlich auf 2er-Potenzen wie 2⁸ oder 2¹⁰.
Aber trotzdem hat sich das Zehnersystem mit den Vorsilben „Kilo“ und „Mega“ durchgesetzt und die Umrechnungszahlen sind:

1 Kilobyte: 1 KB = 1000 Byte

1 Megabyte: 1 MB = 1000 KB

1 Gigabyte: 1 GB = 10⁶ KB

1 Terabyte: 1 TB = 10⁹ KB

Bit und Byte bei Informatikern

Exakt sind die Einheiten so:

1 Kibibyte (KiB): 1 KiB = 2¹⁰ Byte = 1024 Byte

1 Mebibyte (MiB): 1 MiB = 2²⁰ Byte

1 Gibibyte (GiB): 1 GiB = 2³⁰ Byte

1 Tebibyte (TiB): 1 TiB = 2⁴⁰ Byte