Dritte Wurzeln berechnen

Erinnerung: Die Quadratwurzel

Du kennst schon die Quadratwurzel. Sie ist die „Umkehrung“ von „hoch 2“.

121=11, denn 112=1111=121

Die Wurzel von x ist die nicht-negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert wieder x ergibt.

Dritte Wurzeln berechnen

Wurzeln kann zwar dein Taschenrechner berechnen. Aber trotzdem wird es dir helfen, wenn du die Quadratzahlen gut im Kopf hast.

Was ist die 3. Wurzel?

Du kannst nicht nur „hoch 2“, sondern auch „hoch 3“ umkehren! Dazu brauchst du die 3. Wurzel, oder „Kubikwurzel“.

38=2, denn 23=222=8


3. Wurzel

38=2

Radikand

3a=b Die 3. Wurzel ist die nicht-negative Zahl b, die als dritte Potenz (b³) die Zahl a ergibt.
a ist eine reelle, nicht-negative Zahl: a und a0. Dann gilt auch b und b0


Dritte Wurzeln berechnen


Das Ziehen der 3. Wurzel ist das Umkehren der 3. Potenz.

Die kleine 3 am Wurzelzeichen bedeutet, dass du die 3. Wurzel ziehst.

Geometrisch

Quadrat

Den Flächeninhalt eines Quadrats berechnest du mit A=a2. Dabei ist a die Seitenlänge.
Also gilt umgekehrt: A=a

Dritte Wurzeln berechnen


Die Wurzel des Flächeninhaltes A=9 des Quadrates ist die Seitenlänge a=3.
9=3, denn 32=9.

Würfel

Wie kriegst du die Seitenlänge eines Würfels raus?

Dritte Wurzeln berechnen


Das Volumen V eines Würfels berechnest du mit V=a3. Also gilt 3V=a.


Die 3. Wurzel des Volumens V=8 des Würfels ist die Seitenlänge 2.
38=2, denn 23=8

Das Wort „Kubik“ stammt von „Kubus“. Das bedeutet Würfel.

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Ein paar Beispiele

31=1, denn 13=1

38=2, denn 23=8

327=3, denn 33=27

364=4, denn 43=64

3125=5, denn 53=125

31000=10, denn 103=1000

Jetzt auch mit Komma

Auch Dezimalzahlen haben Kubikwurzeln:

33,375=1,5

30,125=0,5

30,001=0,1

315,625=2,5

Und Brüche

3827=23, denn (23)3=232323=827

31125=15, denn (15)3=151515=1125

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Irrational?

Du hast jetzt eine Menge 3. Wurzeln gesehen, die natürliche Zahlen sind (64) oder Dezimalzahlen (0,5) oder Brüche. Die meisten 3. Wurzeln sind allerdings irrational, das heißt nicht-abbrechende, nicht-periodische Dezimalzahlen.

Beim Berechnen hilft dir der Taschenrechner. Suche die Taste für die 3. Wurzel und tippe ein:

3x15
oder
153x

und der Taschenrechner gibt dir 2,4662120743 aus. Die Anzahl der Nachkommastellen kann verschieden sein, je nachdem, wie viel Platz auf deinem Display ist.
Meist sollst du auf 2 Nachkommastellen runden:
3152,47

Irrationale Zahlen kennst du schon von den Quadratwurzeln. 2 oder 3 sind irrationale Zahlen.

Buchstabensalat

Du ahnst es schon: Was mit Zahlen geht, geht auch mit Variablen.:-) Bei Variablen muss bloß immer dabei stehen, welche Zahlen du einsetzen kannst.

Beispiele:

3x3=x - mit x0

3x6=x2, denn (x2)3=x6 - mit x0

31y6=1y2, denn (1y2)3=13(y2)3=1y6 - mit y0

Intervallschachtelung

Mit der Intervallschachtelung kannst du die 3. Wurzel näherungsweise berechnen, ohne die Wurzeltaste deines Taschenrechners zu benutzen.

Beispiel: 352

Hinweis: Die blau markierten Rechenschritte berechnest du mit dem Taschenrechner.

1. Schritt: Das erste Intervall finden

Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt 352?

  • Probiere es mit den Kubikzahlen 13, 23, 33, 43, aus.
  • Es gilt 33=275243=64. Also liegt 352 zwischen 3 und 4.

2. Schritt: Schachtele das Intervall weiter ein

  • Füge eine Nachkommastelle an.
  • Probiere mit dem Taschenrechner, zwischen welchen der Zahlen (3,1)3,(3,2)3,(3,3)3,,(3,9)3 die Zahl 52 liegt.
  • 3,73523,8 , weil (3,7)3=50,6552(3,8)3=54,87

3. Schritt: Zwei Nachkommastellen

  • Berechne mit dem Taschenrechner, zwischen welchen der Zahlen (3,71)3,(3,72)3,(3,73)3,,(3,79)3 die Zahl 52 liegt.
  • 3,733523,74 , weil (3,73)3=51,952(3,74)3=52,31

3. Schritt: Drei Nachkommastellen

  • Finde mit dem Taschenrechner heraus, zwischen welchen der Zahlen (3,731)3,(3,732)3,(3,733)3,,(3,739)3 die Zahl 52 liegt.
  • 3,7323523,733 , weil (3,732)3=51,9852(3,733)3=52,02

Mit jedem Schritt grenzt du 352 genauer ein. Da 352 irrational ist, erhältst du aber niemals den exakten Wert.

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