Neue Exponenten

$$2^3$$, $$(-25)^2$$, $$x^-2$$, $$(1/4)^2$$, $$1,5^-1$$

Diese Potenzen sind dir vertraut: verschiedene Zahlen als Basis und positive und negative ganze Zahlen als Exponent.

Aber: Die Exponenten können auch Brüche sein wie in $$2^(1/2)$$!

Häh? $$2^3=2*2*2$$, aber wie soll das mit einem Bruch gehen…

Das ist festgelegt über die Wurzel! Los geht’s:

Brüche $$1/n$$ als Exponent

Mathematiker haben Potenzen mit Brüchen so festgelegt.

Beispiele:

• $$4^(1/2)=root 2(4) = 2 $$
• $$64^(1/3)=root 3(64) = 4$$
• $$81^(1/4)=root 4(81)=3$$
• …
• $$ 3^(1/n) = root n(3)$$

„Hoch einhalb“ ist dasselbe wie das Ziehen der 2. Wurzel.
Allgemein: „Hoch 1 durch n“ ist dasselbe wie das Ziehen der n-ten Wurzel.

Brüche $$m/n$$ als Exponent

Der Exponent kann aber auch ein anderer Bruch sein. Sieh dir den Term $$x^(6/7)$$ an.
Wie soll das jetzt gehen?

$$x^(6/7)$$
ist dasselbe wie:
$$x^(6*1/7)$$

Potenzgesetze:
$$(x^6)^(1/7)$$

$$n$$-te Wurzel ziehen für $$n=7$$:
$$root 7(x^6)$$

Also: $$x^(6/7)=root 7(x^6)$$

Meistens berechnest du diese Potenzen bzw. Wurzeln mit dem Taschenrechner. Bei manchen Taschenrechner darfst du die Klammern nicht vergessen:
[Bild der Eingabe: x^(6/7)]

Und so geht’s allgemein:
$$x^(a/b)$$

$$x^(a*1/b)$$

$$(x^a)^(1/b)$$

$$root b (x^a)$$

Und in der Praxis?

Potenzen mit rationalen Exponenten kommen beim Bakterienwachstum vor.

Eine Bakterienart vermehrt sich so, dass sich ihre Anzahl nach einer Stunde vervierfacht.

Fällt dir was an den Zahlen auf?

Das kannst du in einer Formel schreiben: $$\text{Anzahl Bakterien}=4^(\text{Anzahl Stunden})$$ oder kurz $$x=4^t$$.

Mit der Formel kannst du die Anzahl der Bakterien nach einer halben Stunde berechnen. Jetzt kommt die Wurzel ins Spiel.

$$x=4^(1/2)=sqrt(4)=2$$

Oder nach $$2,5$$ Stunden?

$$x=4^(2,5)=4^(5/2)=4^(5*(1/2))=(4^5)^(1/2)=sqrt(4^5)=sqrt(1024)=32$$

Nach 2,5 Stunden gab es 32 Bakterien.

Für diese Rechnung brauchtest du schon ein paar Regeln aus der Bruchrechnung und Potenzgesetze wie $$(a^m)^n=a^(m*n)$$.