Potenzgleichungen lösen
Bevor es losgeht
Für Potenzgleichungen solltest du gut mit Potenzen und Wurzeln umgehen können. Hier kommen die wichtigsten Dinge in der Übersicht, dann kannst du Potenzgleichungen auch gut lösen.
Was ist eine Potenz?
Multiplizierst du eine Zahl mehrfach mit sich selbst, kannst du das Produkt als Potenz schreiben.
5⋅5⋅5⋅5=54
└──┬───┘
4-mal der Faktor 5
Exponent oder Hochzahl
↑
54=625
↓ ↓
Basis Potenzwert
Als Basis kannst du auch Bruch- und Dezimalzahlen sowie reelle Zahlen verwenden:
⋅ (25)2=(25)⋅(25)=425
⋅ (-0,3)3=(-0,3)⋅(-0,3)⋅(-0,3)=-0,027.
Der Exponent (Anzahl der Faktoren) ist eine natürliche Zahl.
Die Potenz an der reellen Zahl a und der natürlichen Zahl n ist das Produkt a⋅a⋅…⋅a aus n Faktoren. Die Berechnung der n-ten Potenz einer Zahl a heißt Potenzieren.
Mit Potenzen kannst du rechnen!
Potenzen mit gleicher Basis kannst du multiplizieren, indem du die Exponenten addierst.
Beispiel: 103⋅102=103+2=105
Was ist eine Wurzel?
Das Wurzelziehen ist die Umkehrung vom Potenzieren.
Welche Zahl „hoch 4“ ergibt 625? Dazu brauchst du die Wurzel:
- 4√625=5, denn 54=625
- 3√8=2, denn 23=8
Das Wurzelziehen ist die Umkehrung zum Potenzieren.
Begriffe:
Wurzelexponent
↑
3√8=2 → Wurzelwert
↓
Radikand
Die n-te Wurzel n√b der positiven reellen Zahl b und der natürlichen Zahl n ist die positive Zahl a, für die gilt an=b. Die Berechnung der n-ten Wurzel einer Zahl a heißt Radizieren und ist die Umkehroperation zum Potenzieren.
1. Der Wurzelwert ist immer positiv.
Es ist zwar auch (-5)4=625 und es könnte 4√625=-5 sein.
Aber das Wurzelziehen muss eindeutig sein, sonst gäbe es „sinnlose“ Rechnungen wie z.B.
4√625+4√625=5+(-5)=0.
Also 4√625≠-5!
2. Der Radikand ist immer positiv (oder 0)
Es ist zwar (-2)3=-8 und es könnte 3√-8=-2 sein.
Aber: Wurzeln kannst du auch als Potenzen mit Brüchen als Exponenten betrachten, z. B. 3√8=813
Somit wäre die widersprüchliche Rechnung möglich:
-2=3√-8=(-8)13=(-8)26 =(-8)2⋅16=6√(-8)2=6√64=2
mit -2≠2.
Also: Keine negativen Radikanden!
Potenzgleichungen
Jetzt bist du fit, um Gleichungen mit Potenzen zu lösen.
Gleichungen der Form xn=b mit natürlichen Zahlen n,n≥1, und reellen Zahlen b heißen Potenzgleichungen.
Alle reellen Zahlen x, die die Gleichung erfüllen, sind Lösungen der Potenzgleichung.
Beispiel: x3=27
Die Lösung ist x=3, da 33=27.
Oder mit Umformung geschrieben:
x3=27 | 3√
x=3√27=3
x=3
Potenzgleichungen haben die Form xn=b mit n∈ℕ und n≥1. Alle reellen Zahlen a mit an=b sind Lösungen der Potenzgleichung.
In Potenzgleichungen der Form xn=b musst du zu gegebenem natürlichen Exponenten n und zu reellem Potenzwert b die Basis einer Potenz bestimmen.
Für n=2 erhältst du einfache quadratische Gleichungen.
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Potenzgleichungen xn=b lösen
Für xn=0 ist das schnell gemacht. Dann gibt es nur die Lösung x=0 für alle n, denn 0n=0 für alle natürlichen Zahlen n.
Für b≠0 unterscheidest du zwischen Potenzgleichungen mit geraden und mit ungeraden Exponenten.
Potenzgleichungen mit geraden Exponenten
Die Potenzgleichung xn=b mit geradem n hat nur dann eine Lösung, wenn b≥0, z. B. x2≠-4 für alle x.
Beispiel 1
Gleichung: x4=81
Radizieren auf beiden Seiten: 4√x4=4√81⇒x=3
Lösungen: x1=3 und x2=-3, denn 34=(-3)4=81
Beispiel 2
Gleichung: x4=56
Radizieren auf beiden Seiten: 4√x4=4√56⇒x=4√56
Lösungen: x1=4√56≈2,74 und x2=-4√56≈-2,74
Potenzgleichungen xn=b mit geraden natürlichen Zahlen n haben für b∈ℝ und
b<0: keine Lösung,
b=0: eine Lösung x=0,
b>0: zwei Lösungen x1=n√b und x2=-n√b.
Potenzen mit geraden Exponenten sind immer positiv.
Für alle n∈ℕ ist 0n=0.
Der Wert einer Wurzel n√a ist immer positiv.
Potenzgleichungen mit ungeraden Exponenten
Die Potenzgleichung xn=b mit ungeradem n hat für alle reellen Zahlen b eine und nur eine Lösung.
1. Fall: b>0
Beispiel
x3=125 | 3√ ⇒ x=3√125=5
Lösung: x=5, denn 53=125
2. Fall: b<0
Beispiel
x3=-64
Hilfsschritt: Gleichung mit positivem b lösen:
x3=64 | 3√ ⇒ x=3√64=4
Lösung ursprüngliche Gleichung: x= - 4, denn (-4)3=(-4)⋅(-4)⋅(-4)=-64.
Potenzgleichungen xn=b mit ungeraden natürlichen Zahlen n haben für alle b∈ℝ eine Lösung und die Lösung für
b<0: x=-n√-b,
b=0: x=0,
b>0: x=n√b.
Für b<0 (2. Fall) kannst du nicht einfach auf beiden Seiten die n-te Wurzel ziehen, da die Wurzel nur aus nicht-negativen Zahlen gezogen werden kann. Die Wurzel n√b ist für b<0 nicht definiert.
„Erweiterte“ Potenzgleichungen
Manche Gleichungen kannst du durch äquivalente Umformungen in die Form xn=b überführen.
Beispiel
2x3-4=-10
1. Äquivalente Umformung
2x3-4=-10 ∣+4
2x3=-6 |2
x3=-3
2. Lösen der Potenzgleichung mit b<0
Hilfsschritt: Gleichung mit positivem b lösen:
x3=3 | 3√
⇒x=3√3
Lösung ursprüngliche Gleichung:
x=-3√3≈-1,44
Bringe „erweiterte“ Potenzgleichungen immer erst in die Form xn=b und löse sie dann.
Bei äquivalenter Umformung einer Gleichung ändern sich die Lösungen der Gleichung nicht.
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Potenzgleichungen grafisch lösen
Zum grafischen Lösen von Potenzgleichungen der Form
xn=b (b∈ℝ und n∈ℕ)
bringst du den Graphen einer Potenzfunktion (f(x)=xn) und einer linearen Funktionen (g(x)=b) zum Schnitt.
1. Potenzgleichungen mit geraden Exponenten
Potenzgleichung: x2=6,25
Lineare Funktion: g(x)=6,25
Potenzfunktion: f(x)=x2
Schnittpunkte der Graphen: S1(-2,5∣6,25) und S2(2,5∣6,25).
Lösungen der Potenzgleichung: x1=-2,5 und x2=2,5
2. Potenzgleichungen mit ungeraden Exponenten
Potenzgleichung: x3=-8
Lineare Funktion: g(x)=-8
Potenzfunktion: f(x)=x3
Schnittpunkt der Graphen: S(−2∣8)
Lösung der Potenzgleichung: x=−2
Potenzgleichungen der Form xn=a kannst du grafisch lösen, indem du die Graphen der Potenzfunktion f(x)=xn und der linearen Funktion g(x)=b schneidest. Die x-Koordinaten der Schnittpunkte sind die Lösungen der Potenzgleichung.
Der Graph der linearen Funktion g(x)=b ist eine Gerade parallel zur x-Achse.
Und jetzt allgemein
Grafisch kannst du schön sehen, wie viele Lösungen Potenzgleichungen xn=b mit geradem und ungeradem Exponenten n haben.
1. Potenzgleichungen mit geraden Exponenten
f(x)=xn mit n gerade
Es gibt entweder keine, einen oder 2 Schnittpunkte. Also keine, eine oder 2 Lösungen der Potenzgleichung.
2. Potenzgleichungen mit ungeraden Exponenten
f(x)=xn mit n ungerade
Es gibt immer einen Schnittpunkt der Potenzfunktion mit der Geraden. Also immer eine Lösung der Potenzgleichung.
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