1. Potenzgesetz (gleiche Basen)
Regeln sparen Zeit!
Wenn du Potenzen mit gleicher Basis malnehmen willst, kannst du sie erst einmal als Produkte und dann wieder als Potenzen schreiben:
$$2^2*2^3 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2=2*2*2*2*2=2^5 $$
└─┬─┘└──┬──┘ └───┬─────┘
2-mal $$\text{ }$$ $$\ $$ 3-mal 5-mal
den Faktor 2
Es geht aber auch schneller:
$$2^2*2^3=2^(2+3)=2^5$$
$$x^2*x^3 = x * x * x * x * x=x*x*x*x*x=x^5 $$
└─┬─┘└──┬──┘ └────┬────┘
2-mal 3-mal 5-mal
den Faktor x
Oder einfach: $$x^2*x^3=x^(2+3)=x^5$$
Willst du Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren, addiere die Exponenten.
$$a^m*a^n=a^(m+n)$$
Und wenn ein Exponent negativ ist?
Probier’s aus mit negativen Hochzahlen!
Potenz als Produkt schreiben:
$$2^2*2^(-3) = 2 * 2 * 1/( 2 * 2 * 2)=(2*2)/(2*2*2)=1/2=2^(-1)=2^(2-3) $$
└─┬─┘└──┬──┘
2-mal $$\text{ }$$ $$\ $$ 3-mal
Oder einfach: $$2^2*2^(-3)=2^(2+(-3))=2^(2-3)=2^(-1)$$
$$2^(-2)*2^(-3) =1/( 2 * 2) * 1/( 2 * 2 * 2)=1/(2*2*2*2*2)=1/2^5=2^(-5)=2^(-2-3) $$
└─┬─┘└──┬──┘
2-mal $$\text{ }$$ $$\ $$ 3-mal
Oder einfach: $$2^(-2)*2^(-3)=2^((-2)+(-3))=2^(-2-3)=2^(-5)$$
Die Regel gilt auch für negative Exponenten:
$$a^m*a^n=a^(m+n)$$
Mit Variablen geht’s natürlich auch!
Upgelevelt: Variable und negative Hochzahlen.:-)
$$b^2*b^(-3) = b * b * 1/( b * b * b)=(b*b)/(b*b*b)=1/b=b^(-1)=b^(2-3) $$
└─┬─┘└──┬──┘
2-mal $$\text{ }$$ $$\ $$ 3-mal
Oder einfach: $$b^2*b^(-3)=b^(2+(-3))=b^(2-3)=b^(-1)$$
$$c^(-2)*c^(-3) =1/( c * c) * 1/( c * c * c)=1/(c*c*c*c*c)=1/c^5=c^(-5)=c^(-2-3) $$
└─┬─┘└──┬──┘
2-mal $$\text{ }$$ $$\ $$ 3-mal
Oder einfach: $$c^(-2)*c^(-3)=c^((-2)+(-3))=c^(-2-3)=c^(-5)$$
Die Regel gilt auch für Variable als Basen und für positive und negative Exponenten:
$$a^m*a^n=a^(m+n)$$
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Jetzt das Dividieren
Waren das eben nicht Brüche?
Mit Brüchen konntest du erklären, dass die Regel auch für negative Exponenten gilt. Du weißt, dass ein Bruchstrich nichts anderes bedeutet als zu dividieren.
$$2^2:2^3=2^2/2^3 = (2*2 )/(2*2*2) $$ $$=1/2=2^(-1)=2^(2-3) $$
$$3^4:3^2=3^4/3^2 = (3*3*3*3) /(3*3) = (3*3)/1=3^2=3^(4-2) $$
$$y^2:y^5 = y^2/y^5 = (y*y) /(y*y*y*y*y) =1/ (y*y*y)=1/y^3=y^(-3)=y^(2-5) $$
Willst du Potenzen mit gleicher Basis dividieren, subtrahiere die Exponenten.
$$a^m/a^n=a^m:a^n=a^(m-n)$$
Was ist mit Summen oder Differenzen?
Es gilt $$2^3*2^5=8*32=256$$ oder schneller $$2^3*2^5=2^(3+5)=256$$,
aber $$2^3+2^5=8+32=40$$.
$$40$$ ist keine Potenz von $$2$$. Es gibt keine Regel, mit der du die Rechnung schneller durchführen könntest.
Es gilt $$3^3-3^2=27-9=18$$, aber $$3^3*3^2=3^(3+2)=3^5=243$$.
18 ist keine Potenz mit der Basis 3, auch hier gibt es keine Regel, die dir die Rechnung erleichtern würde.
Die tollen Regeln gibt es nur für Multiplikation und Division. Hier kommt alles im Überblick:
1. Potenzgesetz:
Willst du Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren, addiere die Exponenten.
$$a^m*a^n=a^(m+n)$$
Willst du Potenzen mit gleicher Basis dividieren, subtrahiere die Exponenten.
$$a^m/a^n=a^m:a^n=a^(m-n)$$
Eine Regel für die Addition oder Subtraktion von Potenzen mit gleicher Basis gibt es nicht!
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