Potenzen potenzieren
Zweimal „hoch“!
Potenzen kannst du sogar potenzieren, du hast dann also eine Potenz als Basis.
Probiere es selbst aus:
$$(2^2)^3 = 2^2 * 2^2*2^2=2*2*2*2*2*2=2^6=2^(2*3)$$
Du hast 3-mal den Faktor $$2^2$$, wenn du das Produkt ohne Klammern schreibst. Also $$2*3=6$$-mal den Faktor 2, also die einfache Potenz $$2^6$$.
Du weißt schon, dass du die Faktoren in einem Produkt vertauschen kannst. Die neue Regel kann also nur gelten, wenn bei $$(2^3)^2=2^6$$ und $$(2^2)^3=2^6 $$ dasselbe herauskommt.
Das stimmt tatsächlich:
$$(2^3)^2 = 2^3 * 2^3=2*2*2*2*2*2=2^6=2^(3*2)$$
Hier hast du 2-mal den Faktor $$2^3$$, wenn du das Produkt ohne Klammern schreibst. Also wieder $$3*2=6$$-mal den Faktor 2, also die einfache Potenz $$2^6$$.
Kurz: $$(2^2)^3=2^(2*3)=2^6$$ und $$(2^3)^2=2^(3*2)=2^6$$
Mit Variablen:
$$(x^4)^3 = x^4 * x^4*x^4=$$ $$x*x*x*x*x*x*x*x*x* x * x * x=x^12 $$
Kurz: $$(x^4)^3=x^(4*3)=x^12$$
3. Potenzgesetz
Willst du Potenzen potenzieren, multipliziere die Hochzahlen. Die Basis bleibt gleich.
$$(a^m)^n=a^(m*n)$$
Negative Exponenten
Auch beim Potenzieren von Potenzen sind negative Exponenten erlaubt.
Beim Potenzieren von Potenzen kann eine der beiden Hochzahlen negativ sein. Dann ist das Produkt der beiden Hochzahlen, also die neue Hochzahl, auch negativ.
$$(2^3)^(-2)=1/(2^3)^2=1/2^6=2^(-6)$$
Genauso: $$(2^(-3))^2=(1/(2^3))^2=1/2^3*1/2^3=1/2^6=2^(-6)$$
Wenn beide Hochzahlen negativ sind, ist das Produkt positiv:
$$(2^(-3))^(-2)=1/(2^(-3))^2=1/(1/(2^3))^2=1/(1/2^6)=2^6$$
Die Regel für’s Potenzieren gilt also auch für negative Hochzahlen. Wende die Vorzeichenregeln an:
$$(2^3)^(-2)=2^(3*(-2))=2^(-6)$$
$$(2^(-3))^2=2^((-3)*2)=2^(-6)$$
$$(2^(-3))^(-2)=2^((-3)*(-2))=2^6$$
Willst du Potenzen mit negativen Hochzahlen potenzieren, multipliziere die Hochzahlen und wende die Vorzeichenregeln an. Die Basis bleibt gleich.
$$(a^m)^n=a^(m*n)$$
Die Vorzeichenregeln:
- $$+$$ mal $$+$$ ergibt $$+$$
- $$+$$ mal $$-$$ ergibt $$-$$
- $$-$$ mal $$+$$ ergibt $$-$$
- $$-$$ mal $$-$$ ergibt $$+$$
Rangfolge bei Rechenarten
Dir kommt eine wichtige Regel wahrscheinlich schon aus den Ohren: „Punkt- vor Strichrechnung“. (Ist aber enorm wichtig!:-))
Das Potenzieren kommt sogar noch vor der Punktrechnung.
$$(4*5)^2=20^2=400$$, aber $$4*5^2=4*25=100$$
$$(2^3)^2=2^6$$, aber $$2^(3^2)=2^9$$
Wende die Rangfolge der Rechenarten an:
- Potenzieren
- Punktrechnung (multiplizieren, dividieren)
- Strichrechnung (addieren, subtrahieren)
Mit Klammern
$$2^(3^((2^3)))=2^(3^8) \ne 2^((3^2)^3)=2^(9^3)=2^(3^6)$$
Die Rangfolge der Rechenarten kann auch beim Rechnen mit Potenzen nur durch Klammern geändert werden.
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Entdeckung zum Schluss
Schau dir das 1. und das 3. Potenzgesetz im Hinblick auf die Rechenarten an. Du siehst: Die Rechnung, die mit den Exponenten durchgeführt wird, hat einen niedrigeren Rang als die Rechnung, die mit den Potenzen vorgenommen wird.
Potenzieren
$$(x^3)^4=x^(3*4)$$
Eine Potenz wird potenziert, indem du die Exponenten multiplizierst.
Multiplizieren/Dividieren
$$x^3*x^4=x^(3+4)=x^7$$
Zwei Potenzen werden multipliziert, indem du die Exponenten addierst.
$$x^3:x^5=x^(3-5)=x^(-2)$$
Zwei Potenzen werden dividiert, indem du die Exponenten subtrahierst.
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