Potenzen potenzieren

Zweimal „hoch“!

Potenzen kannst du sogar potenzieren, du hast dann also eine Potenz als Basis.

Probiere es selbst aus:

(22)3=222222=222222=26=223

Du hast 3-mal den Faktor 22, wenn du das Produkt ohne Klammern schreibst. Also 23=6-mal den Faktor 2, also die einfache Potenz 26.

Du weißt schon, dass du die Faktoren in einem Produkt vertauschen kannst. Die neue Regel kann also nur gelten, wenn bei (23)2=26 und (22)3=26 dasselbe herauskommt.

Das stimmt tatsächlich:

(23)2=2323=222222=26=232

Hier hast du 2-mal den Faktor 23, wenn du das Produkt ohne Klammern schreibst. Also wieder 32=6-mal den Faktor 2, also die einfache Potenz 26.

Kurz: (22)3=223=26 und (23)2=232=26


Mit Variablen:

(x4)3=x4x4x4= xxxxxxxxxxxx=x12

Kurz: (x4)3=x43=x12

3. Potenzgesetz
Willst du Potenzen potenzieren, multipliziere die Hochzahlen. Die Basis bleibt gleich.

(am)n=amn

Negative Exponenten

Auch beim Potenzieren von Potenzen sind negative Exponenten erlaubt.

Beim Potenzieren von Potenzen kann eine der beiden Hochzahlen negativ sein. Dann ist das Produkt der beiden Hochzahlen, also die neue Hochzahl, auch negativ.

(23)-2=1(23)2=126=2-6

Genauso: (2-3)2=(123)2=123123=126=2-6

Wenn beide Hochzahlen negativ sind, ist das Produkt positiv:

(2-3)-2=1(2-3)2=1(123)2=1126=26

Die Regel für’s Potenzieren gilt also auch für negative Hochzahlen. Wende die Vorzeichenregeln an:

(23)-2=23(-2)=2-6

(2-3)2=2(-3)2=2-6

(2-3)-2=2(-3)(-2)=26


Willst du Potenzen mit negativen Hochzahlen potenzieren, multipliziere die Hochzahlen und wende die Vorzeichenregeln an. Die Basis bleibt gleich.

(am)n=amn

Die Vorzeichenregeln:

  • + mal + ergibt +
  • + mal - ergibt -
  • - mal + ergibt -
  • - mal - ergibt +

Rangfolge bei Rechenarten

Dir kommt eine wichtige Regel wahrscheinlich schon aus den Ohren: „Punkt- vor Strichrechnung“. (Ist aber enorm wichtig!:-))
Das Potenzieren kommt sogar noch vor der Punktrechnung.

(45)2=202=400, aber 452=425=100

(23)2=26, aber 232=29

Wende die Rangfolge der Rechenarten an:

  1. Potenzieren
  2. Punktrechnung (multiplizieren, dividieren)
  3. Strichrechnung (addieren, subtrahieren)


Mit Klammern

23(23)=2382(32)3=293=236

Die Rangfolge der Rechenarten kann auch beim Rechnen mit Potenzen nur durch Klammern geändert werden.

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Entdeckung zum Schluss

Schau dir das 1. und das 3. Potenzgesetz im Hinblick auf die Rechenarten an. Du siehst: Die Rechnung, die mit den Exponenten durchgeführt wird, hat einen niedrigeren Rang als die Rechnung, die mit den Potenzen vorgenommen wird.

Potenzieren

(x3)4=x34

Eine Potenz wird potenziert, indem du die Exponenten multiplizierst.

Multiplizieren/Dividieren

x3x4=x3+4=x7

Zwei Potenzen werden multipliziert, indem du die Exponenten addierst.

x3:x5=x3-5=x-2

Zwei Potenzen werden dividiert, indem du die Exponenten subtrahierst.





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