Zur Erinnerung: Normalform

Quadratische Gleichungen kannst du am bequemsten lösen, wenn sie in Normalform sind. Normalform heißt: $$1$$ vor $$x^2$$ und eine $$0$$ auf der anderen Seite des $$=$$.
Allgemein: $$x^2+px+q=0$$

So geht das mit der quadratischen Ergänzung:

Löse die Gleichung $$x^2-3*x+2=0$$.

Lösungsschritte

• Stelle die Gleichung um.
  $$x^2-3*x+2=0   |-2$$
  $$x^2-3x=-2$$

• Addiere die quadratische Ergänzung.
  $$x^2-3x$$$$+1,5^2$$$$=-2$$$$+1,5^2$$
  

• Bilde das Binom.
  $$(x-1,5)^2=0,25$$
  

• Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).

  1. Fall: $$x-1,5=sqrt(0,25)$$

  2. Fall: $$x-1,5=-sqrt(0,25)$$

Lösung

1. Lösung: $$x-1,5=0,5 rArr x_1=2$$

2. Lösung: $$x-1,5=-0,5 rArrx_2=1$$

Lösungsmenge $$L={1;2}$$

Allgemeine Form

Aber wie gehst du vor, wenn deine Gleichung nicht in Normalform steht? Sondern so allgemein: $$a*x^2+b*x+c=0$$

Beispiel

$$2x^2+2x-12=0$$
Du kannst eine quadratische Ergänzung nur auf quadratische Gleichungen in Normalform anwenden. Also: Stelle zuerst die Normalform her.

Lösungsschritte

• Teile die gesamte Gleichung (beide Seiten der Gleichung) durch den Faktor vor dem $$x^2$$.
  
  $$2x^2+2x-12=0   | :2$$
  $$x^2+x-6=0$$
  
  Ab hier läuft die quadratische Ergänzung so, wie du sie kennst.
  

• Stelle die Gleichung um.
  $$x^2+x-6=0   |+6$$
  $$x^2+x=6$$
  

• Addiere die quadratische Ergänzung. $$x^2+x+(1/2)^2=6+(1/2)^2$$
  

• Bilde das Binom.
  $$(x+1/2)^2=6,25$$
  

• Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).

  1. Fall: $$x+1/2=sqrt(6,25)$$

  2. Fall: $$x+1/2=-sqrt(6,25)$$

Lösung

1. Lösung: $$x+1/2=2,5 rArr x_1=2$$

2. Lösung: $$x+1/2=-2,5 rArrx_2=-3$$

Lösungsmenge $$L={-3;2}$$

Noch ein Beispiel

Löse die Gleichung $$4x^2+12x-4=12$$.

Lösungsschritte

• Teile die gesamte Gleichung (beide Seiten der Gleichung) durch den Faktor vor dem $$x^2$$.
  
  $$4x^2+12x-4=12   | :4$$
  $$x^2+3x-1=3$$
  

• Stelle die Gleichung um.
  $$x^2+3x-1=3   |+1$$
  $$x^2+3x=4$$
  

• Addiere die quadratische Ergänzung.
  $$x^2+3x+1,5^2=4+1,5^2$$
  

• Bilde das Binom.
  $$(x+1,5)^2=6,25$$
  

• Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).

  1. Fall: $$x+1,5=sqrt(6,25)$$

  2. Fall: $$x+1,5=-sqrt(6,25)$$

Lösung

1. Lösung: $$x+1,5=2,5 rArr x_1=1$$

2. Lösung: $$x+1,5=-2,5 rArrx_2=-4$$

Lösungsmenge $$L={-4;1}$$