Zur Erinnerung: Normalform

Quadratische Gleichungen kannst du am bequemsten lösen, wenn sie in Normalform sind. Normalform heißt: `1` vor `x^2` und eine `0` auf der anderen Seite des `=`.
Allgemein: `x^2+px+q=0`

So geht das mit der quadratischen Ergänzung:

Löse die Gleichung `x^2-3*x+2=0`.

Lösungsschritte

• Stelle die Gleichung um.
  `x^2-3*x+2=0   |-2`
  `x^2-3x=-2`

• Addiere die quadratische Ergänzung.
  `x^2-3x``+1,5^2``=-2``+1,5^2`
  

• Bilde das Binom.
  `(x-1,5)^2=0,25`
  

• Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).

  1. Fall: `x-1,5=sqrt(0,25)`

  2. Fall: `x-1,5=-sqrt(0,25)`

Lösung

1. Lösung: `x-1,5=0,5 rArr x_1=2`

2. Lösung: `x-1,5=-0,5 rArrx_2=1`

Lösungsmenge `L={1;2}`

Allgemeine Form

Aber wie gehst du vor, wenn deine Gleichung nicht in Normalform steht? Sondern so allgemein: `a*x^2+b*x+c=0`

Beispiel

`2x^2+2x-12=0`
Du kannst eine quadratische Ergänzung nur auf quadratische Gleichungen in Normalform anwenden. Also: Stelle zuerst die Normalform her.

Lösungsschritte

• Teile die gesamte Gleichung (beide Seiten der Gleichung) durch den Faktor vor dem `x^2`.
  
  `2x^2+2x-12=0   | :2`
  `x^2+x-6=0`
  
  Ab hier läuft die quadratische Ergänzung so, wie du sie kennst.
  

• Stelle die Gleichung um.
  `x^2+x-6=0   |+6`
  `x^2+x=6`
  

• Addiere die quadratische Ergänzung. `x^2+x+(1/2)^2=6+(1/2)^2`
  

• Bilde das Binom.
  `(x+1/2)^2=6,25`
  

• Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).

  1. Fall: `x+1/2=sqrt(6,25)`

  2. Fall: `x+1/2=-sqrt(6,25)`

Lösung

1. Lösung: `x+1/2=2,5 rArr x_1=2`

2. Lösung: `x+1/2=-2,5 rArrx_2=-3`

Lösungsmenge `L={-3;2}`

Noch ein Beispiel

Löse die Gleichung `4x^2+12x-4=12`.

Lösungsschritte

• Teile die gesamte Gleichung (beide Seiten der Gleichung) durch den Faktor vor dem `x^2`.
  
  `4x^2+12x-4=12   | :4`
  `x^2+3x-1=3`
  

• Stelle die Gleichung um.
  `x^2+3x-1=3   |+1`
  `x^2+3x=4`
  

• Addiere die quadratische Ergänzung.
  `x^2+3x+1,5^2=4+1,5^2`
  

• Bilde das Binom.
  `(x+1,5)^2=6,25`
  

• Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).

  1. Fall: `x+1,5=sqrt(6,25)`

  2. Fall: `x+1,5=-sqrt(6,25)`

Lösung

1. Lösung: `x+1,5=2,5 rArr x_1=1`

2. Lösung: `x+1,5=-2,5 rArrx_2=-4`

Lösungsmenge `L={-4;1}`