Anwendungsaufgaben

Spannender als das bloße Lösen von Gleichungen sind Anwendungsaufgaben. Mit dem Aufgabentext erstellst du erst mal deine quadratische Gleichung, mit der du die Aufgabe dann lösen kannst.

Hier kommen 4 Beispiele:

Zahlenrätsel

Aufgabe:
Für welche Zahlen gilt: Das Quadrat einer Zahl vermehrt um ihr Fünffaches beträgt 14.

Lösungsweg: Übersetze den Aufgabentext in eine Gleichung.

• Gesucht wird eine unbekannte Zahl, die kannst du $$x$$ nennen.
  
• Das Quadrat dieser Zahl kannst du notieren als $$x^2$$.
  
• Das Fünffache der Zahl ist $$5x$$.
  

Der erste Term soll um den zweiten Term vermehrt werden. Die Summe ergibt 14:
$$x^2+5x=14$$

Die Rechnung:
$$x^2+5x=14   |$$quadratische Ergänzung
$$x^2+5x+2,5^2=14+2,5^2$$
$$(x+2,5)^2=20,25$$

Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).
1. Fall: $$x+2,5=sqrt(20,25)$$
2. Fall: $$x+2,5=-sqrt(20,25)$$

1. Lösung: $$x+2,5=4,5 rArr x_1=2$$
   
2. Lösung: $$x+2,5=-4,5 rArrx_2=-7$$

Probe:
$$2^2+5*2=14$$, also $$14=14$$
$$(-7)^2+5*(-7)=14$$, also $$49-35=14$$

Aus der Geometrie

Aufgabe:
Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen $$6 cm$$ und $$5 cm.$$ Verkürze alle Seiten um jeweils dieselbe Länge, sodass der Flächeninhalt $$2/3$$ des ursprünglichen Inhalts beträgt.

Lösungsweg:
Hier kannst du auf verschiedenen Wegen loslegen, z.B zunächst einmal den originalen Flächeninhalt berechnen. Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $$A=5 cm*6 cm=30 cm^2$$.
$$2/3$$ dieses Flächeninhalts sind $$2/3*30 cm^2=20 cm^2$$.
Dieser Flächeninhalt soll sich aus den neuen Seitenlängen ergeben. Die neuen Seitenlängen sind: $$5-x$$ und $$6-x$$. Es gilt also:
$$(5-x)*(6-x)=20$$

Die Rechnung:
$$(5-x)*(6-x)=20   |$$Klammern auflösen
$$30-5x-6x+x^2=20$$
$$30-11x+x^2=20   |-30$$; sortieren

$$x^2-11x=-10   |$$quadratische Ergänzung
$$x^2-11x+5,5^2=-10+5,5^2$$
$$(x-5,5)^2=-10+30,25$$
$$(x-5,5)^2=20,25$$

Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).
1. Fall: $$x-5,5=sqrt(20,25)$$
2. Fall: $$x-5,5=-sqrt(20,25)$$

1. Lösung: $$x-5,5=4,5 rArr x_1=10$$
   
2. Lösung: $$x-5,5=-4,5 rArrx_2=1$$

Die erste Lösung kommt nicht in Frage, da man keine der Seiten um $$10 cm$$ verkürzen kann. Für $$x=1$$ ergibt sich dann:
$$(5-1)*(6-1)=20$$ also $$4*5=20$$
Die neuen Seitenlängen betragen also $$4 cm$$ und $$5 cm$$.

Flächeninhalt eines Rechtecks

A = a·b

Klassenfahrt

Aufgabe:
Für einen Ausflug hat die Klasse 9b einen Bus für 336 € gemietet. Da am Ausflugstag drei Schüler fehlen, muss der Fahrpreis pro Schüler um 2 € erhöht werden. Wie viele Schüler wollten ursprünglich an der Fahrt teilnehmen?

Lösungsweg: Übersetze den Aufgabentext in eine Gleichung.

• unbekannte Anzahl der Schüler, die ursprünglich an der Fahrt teilnehmen wollten: $$x$$.
  
• neue Anzahl der Schüler: $$x-3$$.
  
• früherer Fahrpreis: $$336/x$$ Dieser muss jetzt um $$2$$ $$€$$ erhöht werden.
• neuer Preis pro Person: $$336/x+2$$
  Die neue Schüleranzahl multipliziert mit dem neuen Preis pro Person ergibt dann wieder den Gesamtpreis von $$336$$ €.

Die Gleichung: $$(x-3)*(336/x+2)=336$$

Die Rechnung:

$$(x-3)*(336/x+2)=336   |$$ausmultiplizieren
$$336-1008/x+2x-6=336   |*x$$
$$336x-1008+2x^2-6x=336x   |-336x$$; sortieren
$$2x^2-6x-1008=0   |:2$$
$$x^2-3x-504=0   |+504$$
$$x^2-3x=504   |$$ quadratische Ergänzung

$$x^2-3x+1,5^2=504+1,5^2$$
$$(x-1,5)^2=506,25$$

Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).
1. Fall: $$x-1,5=sqrt(506,25)$$
2. Fall: $$x-1,5=-sqrt(506,25)$$

1. Lösung: $$x-1,5=22,5 rArr x_1=24$$
   
2. Lösung: $$x-1,5=-22,5 rArrx_2=-21$$

Die zweite Lösung kommt nicht in Frage, da es keine negativen Schülerzahlen geben kann. Daher ist nur $$x=24$$ die richtige Lösung für die ursprüngliche Anzahl der Schüler.

Probe:
Ursprünglich: $$24*336/24=336   |$$wahre Aussage
Neu: $$(24-3)*(336/24+2)=336$$
$$21*(14+2)=336$$
$$21*16=336   |$$wahre Aussage
Somit stimmt die erhaltene Lösung.

Optimierungsaufgabe

Bei Optimierungsaufgaben geht es darum, dass du etwas Kleinstes bzw. Größtes herausfindest. Mit quadratischen Funktionen ist das dann der Hoch- oder Tiefpunkt. Du brauchst also die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform. Dann kannst du den Hoch- oder Tiefpunkt bestimmen.

Aufgabe: Gesucht ist eine (ganze) Zahl, die mit der um 4 vergrößerten Zahl das kleinste Produkt ergibt. Gib die Zahl und das Produkt an.

Lösungsweg: Übersetze den Aufgabentext in eine Gleichung.

• Die nicht bekannte Zahl heißt wieder $$x$$.
• Das Produkt mit der Zahl um 4 vergrößert: $$x*(x+4)$$

Dieser Term gibt für alle Werte für $$x$$ ein Produkt aus. Deshalb kannst du diesen Term auch einer Funktion zuordnen. Es könnte z.B. heißen:
$$f(x)=x*(x+4)$$

Forme in die Scheitelpunktform um:
$$f(x)=x^2+4x$$
$$f(x)=(x+2)^2-4$$
Daraus folgt der Scheitelpunkt: $$S(-2|-4)$$.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, weil vor dem $$x^2$$ das Vorzeichen $$+$$ steht, nicht $$-$$. Also ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Parabel.

Der $$x$$-Wert der Parabel $$(-2)$$ gibt dir dann die gesuchte Zahl an, der $$y$$-Wert $$(-4)$$ ist das kleinstmögliche Produkt.