Die quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung fürs Lösen quadratische Gleichungen geht so:

Und zum Nachlesen

Lösen quadratischer Gleichungen in Normalform

Aufgabe

Die Seitenlängen eines Rechtecks unterscheiden sich um 4 cm und der Flächeninhalt ist 12 cm². Wie lang sind die beiden Seiten des Rechtecks?

Lösung

• Wählst du die eine Seitenlänge mit x, dann hat die andere Seite die Länge x + 4 cm.
• Für den gegebenen Flächeninhalt kannst du die folgende Gleichung (ohne Maßeinheiten) aufstellen und umformen.

  $$12=x·(x + 4)$$

  $$x^2+4x=12$$

• Addierst du auf beiden Seiten der Gleichung 4, kannst du die binomischen Formeln anwenden.

  $$x^2+4x$$ $$+4$$ $$=12$$$$+4$$

  $$x^2+4x+4$$$$=16$$

  $$(x + 2)^2$$$$=16$$
  Daraus ergeben sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:
   1. Lösung:  $$x+2=4$$  mit $$x_1=2$$
   2. Lösung:  $$x+2=-4$$ mit $$x_2=-6$$.

• Die zweite Lösung $$x_2=-6$$ entfällt, weil die Seiten eines Rechtecks nicht negativ sein können.

Flächeninhalt eines Rechtecks

A = a·b

Die Normalform einer quadratischen Gleichung

Quadratische Gleichungen kannst du so umformen, dass auf einer Seite der Gleichung $$0$$ steht.

Beispiel

$$3x^2+18=15x$$  $$|-15x$$

 $$3x^2-15x+18=0$$    $$|:3$$

$$x^2-5x+6=0$$

Diese Form der Gleichung heißt Normalform. Die Gleichung hat

• einen Summanden mit $$x^2$$ (quadratisches Glied),
• einen mit $$x$$ (lineares Glied) und
• ein Summand ist eine Zahl (absolutes Glied).

Beispiel

 $$x^2-5x+6=0$$,  $$p=-5$$ und $$q=6$$

Methode der quadratischen Ergänzung

Die Methode der quadratischen Ergänzung kannst du zur Lösung der quadratischen Gleichungen in Normalform anwenden.

Beispiel

Löse die Gleichung $$x^2- 6x+5=0$$.

Lösungsschritte

• Bringe das absolute Glied auf die andere Seite.

  $$x^2-6x+5=0$$  $$|-5$$

  $$x^2-6x=-5$$

• Welche Zahl musst du ergänzen, damit du bei der Summe $$x^2-6x$$ eine binomische Formel anwenden kannst? Wegen des Minus ist es die 2. binomische Formel.

  $$x^2-6x$$$$+?$$$$=(x$$$$-?$$$$)^2$$

  $$x^2-6x+3^2=(x-3)^2$$

• Diese Zahl (quadratische Ergänzung) addierst du auf beiden Seiten der Gleichung .

  $$x^2-6x+3^2=-5+3^2$$

  $$x^2-6x+9=4$$

• Auf der linken Seite kannst du jetzt das Binom bilden.

  $$(x-3)^2=4$$

• Ziehst du nun auf beiden Seiten die Wurzel, ist eine Fallunterscheidung notwendig.

  1. Fall: $$x-3=sqrt(4)=2$$

  2. Fall: $$x-3=-sqrt(4)=-2$$

Lösung

• Durch Umstellen erhältst du die beiden Lösungen.

  1. Fall: $$x-3=2 rArr x_1 =5$$

  2. Fall: $$x-3=-2 rArr x_2=1$$

Lösungsmenge:  $$L={5;1}$$

Probe

1. Lösung:    $$5^2-6*5+5=0  (?)$$

   $$25-30+5=0$$

   $$0=0$$

2. Lösung: $$(-1)^2-6·(-1)+5=0  (?)$$

   $$1-6+5=0$$

   $$0=0$$

Jetzt mit Brüchen

Sind die Koeffizienten in der quadratischen Gleichung Brüche, wird es etwas schwieriger.

Beispiel mit Dezimalbrüchen

Löse die Gleichung $$x^2+2,4x-0,25=0$$.

Lösungsschritte

• Stelle die Gleichung um.
  

  $$x^2+2,4x-0,25=0$$   $$|+0,25$$
  

  $$x^2+2,4x=0,25$$
  

• Addiere die quadratische Ergänzung.

  $$x^2+2,4x+1,44=0,25+1,44$$

• Bilde das Binom.

  $$(x+1,2)^2=1,69$$

• Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).

  1. Fall: $$x+1,2=sqrt(1,69)$$

  2. Fall: $$x+1,2=-sqrt(1,69)$$

Lösung

1. Lösung: $$x+1,2=1,3 rArr x_1=0,1$$

2. Lösung: $$x+1,2=-1,3rArrx_2=-2,5$$

Lösungsmenge:  $$L={0,1;  -2,5}$$

Und nochmal einmal Brüche

Beispiel mit gemeinen Brüchen

Löse die Gleichung $$x^2+(2)/(3)x-(1)/(3)=0$$.

Lösungsschritte

• Stelle die Gleichung um.
  

  $$x^2+(2)/(3)x-(1)/(3)=0$$   $$|+(1)/3$$

  $$x^2+(2)/(3)x=(1)/(3)$$

• Addiere die quadratische Ergänzung.

  $$x^2+(2)/(3)x=(1)/(3)$$    $$|+(1)/(9)$$

  $$x^2+(2)/(3)x+(1)/(9)=(1)/(3)+(1)/(9)$$

• Bilde das Binom.

  $$(x+(1)/(3))^2= (4)/(9)$$

• Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).

1. Fall:  $$x+(1)/(3)= sqrt((4)/(9))$$
2. Fall:  $$x+(1)/(3)=-sqrt((4)/(9))$$

Lösung

1. Lösung: $$x+1/3 = 2/3$$ $$ rArr x_1=(2)/(3)-(1)/(3)=(1)/(3)$$

2. Lösung: $$x+1/3=-2/3$$ $$ rArr x_2=-(2)/(3)-(1)/(3)=-1$$

Lösungsmenge: $$L={(1)/(3);-1}$$