Die quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung fürs Lösen quadratische Gleichungen geht so:

Und zum Nachlesen

Lösen quadratischer Gleichungen in Normalform

Aufgabe

Die Seitenlängen eines Rechtecks unterscheiden sich um 4 cm und der Flächeninhalt ist 12 cm². Wie lang sind die beiden Seiten des Rechtecks?

Lösung

• Wählst du die eine Seitenlänge mit x, dann hat die andere Seite die Länge x + 4 cm.
• Für den gegebenen Flächeninhalt kannst du die folgende Gleichung (ohne Maßeinheiten) aufstellen und umformen.

  `12=x·(x + 4)`

  `x^2+4x=12`

• Addierst du auf beiden Seiten der Gleichung 4, kannst du die binomischen Formeln anwenden.

  `x^2+4x` `+4` `=12``+4`

  `x^2+4x+4``=16`

  `(x + 2)^2``=16`
  Daraus ergeben sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:
   1. Lösung:  `x+2=4`  mit `x_1=2`
   2. Lösung:  `x+2=-4` mit `x_2=-6`.

• Die zweite Lösung `x_2=-6` entfällt, weil die Seiten eines Rechtecks nicht negativ sein können.

Flächeninhalt eines Rechtecks

A = a·b

Die Normalform einer quadratischen Gleichung

Quadratische Gleichungen kannst du so umformen, dass auf einer Seite der Gleichung `0` steht.

Beispiel

`3x^2+18=15x`  `|-15x`

 `3x^2-15x+18=0`    `|:3`

`x^2-5x+6=0`

Diese Form der Gleichung heißt Normalform. Die Gleichung hat

• einen Summanden mit `x^2` (quadratisches Glied),
• einen mit `x` (lineares Glied) und
• ein Summand ist eine Zahl (absolutes Glied).

Beispiel

 `x^2-5x+6=0`,  `p=-5` und `q=6`

Methode der quadratischen Ergänzung

Die Methode der quadratischen Ergänzung kannst du zur Lösung der quadratischen Gleichungen in Normalform anwenden.

Beispiel

Löse die Gleichung `x^2- 6x+5=0`.

Lösungsschritte

• Bringe das absolute Glied auf die andere Seite.

  `x^2-6x+5=0`  `|-5`

  `x^2-6x=-5`

• Welche Zahl musst du ergänzen, damit du bei der Summe `x^2-6x` eine binomische Formel anwenden kannst? Wegen des Minus ist es die 2. binomische Formel.

  `x^2-6x``+?``=(x``-?``)^2`

  `x^2-6x+3^2=(x-3)^2`

• Diese Zahl (quadratische Ergänzung) addierst du auf beiden Seiten der Gleichung .

  `x^2-6x+3^2=-5+3^2`

  `x^2-6x+9=4`

• Auf der linken Seite kannst du jetzt das Binom bilden.

  `(x-3)^2=4`

• Ziehst du nun auf beiden Seiten die Wurzel, ist eine Fallunterscheidung notwendig.

  1. Fall: `x-3=sqrt(4)=2`

  2. Fall: `x-3=-sqrt(4)=-2`

Lösung

• Durch Umstellen erhältst du die beiden Lösungen.

  1. Fall: `x-3=2 rArr x_1 =5`

  2. Fall: `x-3=-2 rArr x_2=1`

Lösungsmenge:  `L={5;1}`

Probe

1. Lösung:    `5^2-6*5+5=0  (?)`

   `25-30+5=0`

   `0=0`

2. Lösung: `(-1)^2-6·(-1)+5=0  (?)`

   `1-6+5=0`

   `0=0`

Jetzt mit Brüchen

Sind die Koeffizienten in der quadratischen Gleichung Brüche, wird es etwas schwieriger.

Beispiel mit Dezimalbrüchen

Löse die Gleichung `x^2+2,4x-0,25=0`.

Lösungsschritte

• Stelle die Gleichung um.
  

  `x^2+2,4x-0,25=0`   `|+0,25`
  

  `x^2+2,4x=0,25`
  

• Addiere die quadratische Ergänzung.

  `x^2+2,4x+1,44=0,25+1,44`

• Bilde das Binom.

  `(x+1,2)^2=1,69`

• Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).

  1. Fall: `x+1,2=sqrt(1,69)`

  2. Fall: `x+1,2=-sqrt(1,69)`

Lösung

1. Lösung: `x+1,2=1,3 rArr x_1=0,1`

2. Lösung: `x+1,2=-1,3rArrx_2=-2,5`

Lösungsmenge:  `L={0,1;  -2,5}`

Und nochmal einmal Brüche

Beispiel mit gemeinen Brüchen

Löse die Gleichung `x^2+(2)/(3)x-(1)/(3)=0`.

Lösungsschritte

• Stelle die Gleichung um.
  

  `x^2+(2)/(3)x-(1)/(3)=0`   `|+(1)/3`

  `x^2+(2)/(3)x=(1)/(3)`

• Addiere die quadratische Ergänzung.

  `x^2+(2)/(3)x=(1)/(3)`    `|+(1)/(9)`

  `x^2+(2)/(3)x+(1)/(9)=(1)/(3)+(1)/(9)`

• Bilde das Binom.

  `(x+(1)/(3))^2= (4)/(9)`

• Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).

1. Fall:  `x+(1)/(3)= sqrt((4)/(9))`
2. Fall:  `x+(1)/(3)=-sqrt((4)/(9))`

Lösung

1. Lösung: `x+1/3 = 2/3` `rArr x_1=(2)/(3)-(1)/(3)=(1)/(3)`

2. Lösung: `x+1/3=-2/3` `rArr x_2=-(2)/(3)-(1)/(3)=-1`

Lösungsmenge: `L={(1)/(3);-1}`