Vermischte Aufgaben mit dem Pythagoras
Der Satz des Pythagoras
Das ist der wohl bekannteste Satz der gesamten Mathematik! Und er ist über 2000 Jahre alt!
In dieser Lerneinheit geht es um etwas kompliziertere Aufgaben, bei denen du oft auch Wissen aus anderen mathematischen Bereichen anwenden musst. Das kann zum Beispiel die Volumenformel eines Körpers sein, der Strahlensatz oder sogar der Sinus.
Aber keine Panik: Sollte das der Fall sein, so wird in der Aufgabe immer darauf hingewiesen!
Pythagoras lebte von 580 bis 496 v. Chr. in Griechenland. Der Satz ist zwar nach ihm benannt, aber mit sehr großer Wahrscheinlichkeit nicht von ihm entdeckt worden.
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Grundwissen und Formeln
Der Satz des Pythagoras
Ist ein Dreieck mit den Seiten $$a$$, $$b$$ und $$c$$ rechtwinklig, so gilt: $$a^2 + b^2 = c^2$$
Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras
Gilt in einem Dreieck $$a^2 + b^2 = c^2$$, so ist das Dreieck rechtwinklig.
Hier noch zwei Formeln, die häufig vorkommen:
Diagonale eines Rechtecks mit den Seiten $$a$$ und $$b$$
$$e = sqrt(a^2+b^2)$$
Raumdiagonale eines Quaders mit den Seiten $$a$$, $$b$$ und $$c$$
$$d = sqrt(a^2+b^2+c^2)$$
$$c$$ ist immer die längste Seite. Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel. Die Seite $$c$$ heißt auch Hypotenuse und $$a$$ und $$b$$ die Katheten des Dreiecks.
Achtung: $$sqrt(a^2+b^2)$$ ist nicht $$a + b$$. Der Fehler wird oft gemacht, aber du kannst den Term nicht weiter vereinfachen.
So gehst du beim Rechnen vor
Vier Schritte fürs Lösen einer Aufgabe:
- Aufgabe erfassen: Was wird gesucht, was ist gegeben? Skizze anfertigen!
- Gleichung aufstellen. Einheiten weg!
- Gleichung lösen.
- Checken, ob die Lösung Sinn macht!
Tipps und Tricks
Bei allen geometrischen Aufgaben solltest du immer eine Zeichnung anlegen. Diese muss auch nicht besonders sauber aussehen (außer in Klassenarbeiten).
Wenn du Probleme beim Umformen einer Gleichung hast, ist es oft sinnvoll, die Aufgabe mit ganz einfachen Zahlen zu rechnen. Dann weißt du meistens, was zu tun ist.
Vertraue nie blind dem Ergebnis des Taschenrechners. Überlege dir, ob dein Ergebnis sinnvoll ist und zur Aufgabenstellung passt.
Eine gerechnete Beispielaufgabe
Eine $$10\ m$$ lange Leiter steht an einer senkrechten Wand. Die Leiter hat unten einen Abstand von $$2\ m$$ zur Wand. Wie hoch reicht die Leiter?
Lösung:
Pythagoras:
$$10^2 = 2^2 +h^2$$
$$100=4+h^2$$ $$|-4$$
$$96 = h^2$$ $$|sqrt(\ \ )$$
$$h = 9,80\ m$$
Die Leiter reicht $$9,80\ m$$ hoch.
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