Volumen

…heißt auch Rauminhalt und den Begriff kennst du sicher aus deinem täglichen Leben aus vielen Bereichen. Etwa das Volumen einer Limoflasche oder den Hubraum eines Autos, oder?

In dieser Lerneinheit geht es um etwas kompliziertere Aufgaben, bei denen du oft auch Wissen aus anderen mathematischen Bereichen anwenden musst. Das kann zum Beispiel der Satz des Pythagoras sein, der Strahlensatz oder sogar der Sinus.

Aber keine Panik: Sollte das der Fall sein, so wird in der Aufgabe immer darauf hingewiesen!

Das weißt du bestimmt noch:

$$1\ cm^3 = 1000\ mm^3$$

$$1\ dm^3 = 1\ Liter = 1000\ cm^3$$

$$1\ m^3 = 1000\ dm^3 = 1000\ l$$

$$1\ cm^3 = 1\ ml$$ (Milliliter)

$$1\ cl = 10\ cm^3$$ (Zentiliter)

$$1\ dl = 100\ cm^3$$ (Deziliter)

$$1\ hl = 100 l$$ (Hektoliter)

Statt $$cm³$$ liest man oft $$c\cm$$.

Grundwissen und Formeln

Hier sind die wichtigsten Formeln für das Volumen von Körpern aufgeführt. Die kennst du bestimmt (fast) alle:

Figur und Formel	Grafik
Quader $$V = a * b * c$$ (Volumen = Länge $$*$$ Breite $$*$$ Höhe)
Würfel $$V = a^3$$
Zylinder $$V = π r^2 h_k$$
Pyramide $$V = 1/3 a^2h_k$$
Kegel $$V = 1/3 π r^2 h_k$$
Kugel $$V = 4/3 π r^3$$

Prismen $$V = G* h_k$$ (also Grundfläche $$*$$ Höhe)

Das Formelzeichen für das Volumen ist $$V$$.

Einige Volumina (das ist die Mehrzahl von Volumen!):

Stecknadelkopf: $$1\ mm^3$$

Zuckerwürfel: $$1\ cm^3$$

Glas Limo: $$0,2\ l$$

Flasche Limo: $$1\ l$$

Du: $$65\ l$$ (je nach Größe!)

Badewannenfüllung: $$150\ l$$

Klassenraum: $$150\ m^3$$

Bodensee: $$48000000000\ m^3$$

Erde: $$1,4 * 10^27\ m^3$$

Prismen haben oben und unten dieselbe Fläche und die Seitenflächen gehen senkrecht nach oben!

Tipps und Tricks

Vier Schritte fürs Lösen einer Aufgabe:

1. Aufgabe erfassen: Was wird gesucht, was ist gegeben? Skizze anfertigen!
2. Gleichung aufstellen. Einheiten weg!
3. Gleichung lösen.
4. Checken, ob die Lösung Sinn macht!

Tipps und Tricks

• Bei allen geometrischen Aufgaben solltest du immer eine Zeichnung anlegen. Diese muss auch nicht besonders sauber aussehen (außer in Klassenarbeiten).

• Wenn du Probleme beim Umformen einer Gleichung hast, ist es oft sinnvoll, die Aufgabe mit ganz einfachen Zahlen zu rechnen. Dann weißt du meistens, was zu tun ist.

• Vertraue nie blind dem Ergebnis des Taschenrechners. Überlege dir, ob dein Ergebnis sinnvoll ist und zur Aufgabenstellung passt.
  Beispiel: Es kann nicht sein, dass das Volumen eines Autos nur $$35$$ Liter ist, dann würdest du ja nicht hinein passen!

Eine gerechnete Beispielaufgabe

Du siehst hier einen kleinen T-Träger aus Stahl. Alle Maße sind in $$dm$$ angegeben. Ein $$dm^3$$ Stahl hat die Masse von $$7,8\ kg$$. Wie schwer ist der Träger?

Der Körper ist ein Prisma!

gesucht: $$m$$

$$A_(Dreieck)= (g*h)/2=(1*1)/2=0,5$$ $$sm^2$$

$$A_(Gesamtfläche)= 4 + 5 +0,5 +0,5 = 10\ dm^2$$ $$V= Fläche * Höhe = 10 * 6 = 60$$ $$dm^3$$ $$m = Volumen * Dicke = 60 * 7,8 = 468\ kg$$