Reelle zahlen – Zahlenbereiche untersuchen
Welche Zahlenbereiche gibt es?
Zahlen kannst du je nach Art einem oder mehreren Zahlenbereichen zuordnen. Zahlenbereiche sind Mengen, die Zahlen einer Sorte enthalten.
Diese Zahlenbereiche gibt es:
- Natürliche Zahlen $$NN$$
- Ganze Zahlen $$ZZ$$
- Gebrochene Zahlen $$QQ_+$$
- Rationale Zahlen $$QQ$$
- Irrationale Zahlen
- Reelle Zahlen $$RR$$
Was sind natürliche und ganze Zahlen?
Natürliche Zahlen $$NN$$
Der Zahlenbereich der natürlichen Zahlen $$NN$$ bildet das Zählen als natürlichen Prozess ab.
Die kleinste natürliche Zahl ist die $$0$$.
Die Menge der natürlichen Zahlen enthält alle Nachfolger der $$0$$ bis unendlich:
$$NN={0,1,2,3,4,…, n, n+1,…}$$ .
Wie kannst du mit natürlichen Zahlen rechnen?
Du darfst uneingeschränkt addieren und multiplizieren.
- Man sagt, $$NN$$ ist bezüglich der Addition und Multiplikation abgeschlossen.
- Alle anderen Rechenoperationen sind nicht uneingeschränkt durchführbar.
Ganze Zahlen $$ZZ$$
Erweiterst du den Zahlenbereich der natürlichen Zahlen mit den negativen Zahlen, hast du die ganzen Zahlen:
- In der Menge der negativen Zahlen sind alle positiven und negativen Zahlen ohne Komma: $$ZZ={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}$$
- Nun kannst du auch uneingeschränkt subtrahieren.
Nachfolgerprinzip: Ist $$n$$ eine beliebige natürliche Zahl, dann ist $$n+1$$ ihr Nachfolger.
Beispiel: Die Zahl $$n=73$$ hat den Nachfolger $$n+1=74$$
Abgeschlossenheit: Das Ergebnis der Rechnung ist in derselben Menge, hier $$NN$$.
Beispiel:
- Addierst du zwei natürliche Zahlen, ist die Summe auch eine natürliche Zahl. $$4+3 = 7$$
- Rechnest du $$4:3$$, ist das Ergebnis keine natürliche Zahl, sondern ein Bruch $$4/3$$.
Was sind gebrochene und rationale Zahlen?
Gebrochene Zahlen $$QQ$$$$+$$
Willst du uneingeschränkt dividieren, brauchst du die Bruchzahlen.
- $$QQ$$$$+$$ enthält alle positiven Brüche
- $$QQ$$$$+$$$$={$$ $$a/b|$$ $$a,b$$ sei eine natürliche Zahl und $$b!=0}$$
Rationale Zahlen $$QQ$$
Nimmst du die negativen Brüche hinzu, hast du die rationalen Zahlen.
- $$QQ={$$ $$a/b| a$$ sei eine ganze Zahl, $$b$$ sei eine natürliche Zahl und $$b!=0}$$
- In $$QQ$$ darfst du alle Grundrechenarten uneingeschränkt ausführen.
- $$QQ$$ enthält alle positiven und negativen Brüche, sowie alle abbrechenden Dezimalbrüche (z.B. $$-3,75$$) und periodischen Dezimalbrüche (z.B. $$0,66666…$$).
Einen Bruch schreibst du allgemein $$a/b$$.
Der Quotient aus zwei natürlichen Zahlen ist positiv.
Die Division durch Null ist in keinem Zahlbereich erlaubt, deshalb $$b!=0$$.
$$a$$ kann negativ sein, so kann auch der Quotient negativ sein.
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Was sind irrationale Zahlen?
Bei den rationalen Zahlen ist nur eines nicht vollständig erlaubt: das Wurzelziehen.
Manche Wurzeln kannst du schon ziehen:
- $$sqrt(9)=3$$ da $$3*3=9$$
- $$sqrt(0,16)=0,4$$ da $$0,4*0,4=0,16$$
- $$sqrt(4/9)=2/3$$ da $$2*2=4$$ und $$3*3=9$$
Irrationale Zahlen
Manche Wurzeln sind unendlich lange Dezimalzahlen und nicht als Bruch darstellbar. Das sind irrationale Zahlen.
Beispiele:
- $$sqrt(2)=1,4142135623730…$$
- $$sqrt(3)$$, $$sqrt(5)$$, $$sqrt(6,12223)$$
Was sind reelle Zahlen?
Vereinst du die rationalen und die irrationalen Zahlen, erhältst du die reellen Zahlen $$RR$$.
- In diesem Zahlenbereich sind alle positiven und negativen Bruchzahlen sowie alle Wurzeln.
- Aus negativen Zahlen kannst du keine Wurzel ziehen. $$sqrt(-4)$$ ist nicht definiert. Solche Zahlen sind nicht in den reellen Zahhlen $$RR$$ enthalten.
In dieser Abbildung siehst du, wie die Zahlenbereiche ineinander liegen:
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